Verifique que as funções dadas constituem uma base da EDO dada, e em seguida resolva o problema de valor inicial dado.
Passo 1
Temos a EDO de Euler–Cauchy junto com duas soluções candidatas e . O conteúdo aqui é EDO de segunda ordem com coeficientes variáveis do tipo Euler, e vamos precisar verificar que essas funções são independentes (ou seja, formam base do espaço de soluções) e depois usar a combinação linear geral para ajustar as condições iniciais e .
Passo 2
Para checar se e são independentes, calculamos o Wronskiano:
Passo 3
Como W(x)=-4x^-1neq0 para xneq0, concluímos que y1 e y2 são linearmente independentes e, portanto, formam uma base das soluções. A solução geral da EDO é a combinação linear
y(x)=C1x^2+C2x^-2
Passo 4
Derivando, obtemos
y'(x)=2C1x-2C2x^-3
Passo 5
Agora aplicamos as condições iniciais em x=1:
y(1)=C1+C2=11
y'(1)=2C1-2C2=-6
Passo 6
Resolvendo o sistema
C1+C2=11 2C1-2C2=-6
dividindo a segunda equação por 2 fica
C1+C2=11 C1-C2=-3
Somando as duas equações: 2C1=8 então C1=4. Substituindo em C1+C2=11 dá C2=7.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é y(x)=4x^2+7x^-2.