Verifique que as funções dadas constituem uma base da EDO dada, e em seguida resolva o problema de valor inicial dado.
x^2 y^prime prime+x y^prime-4 y=0, y1(x)=x^2, y2(x)=x^-2, y(1)=11, y^prime(1)=-6

Passo 1

Temos a EDO de Euler–Cauchy x^2y''+xy'-4y=0 junto com duas soluções candidatas y1(x)=x^2 e y2(x)=x^-2. O conteúdo aqui é EDO de segunda ordem com coeficientes variáveis do tipo Euler, e vamos precisar verificar que essas funções são independentes (ou seja, formam base do espaço de soluções) e depois usar a combinação linear geral para ajustar as condições iniciais y(1)=11 e y'(1)=-6.

Passo 2

Para checar se y1 e y2 são independentes, calculamos o Wronskiano:
W(x)=y1&y2y1'&y2' =x^2&x^-22x&-2x^-3 =-2x^-1-2x^-1 =-4x^-1

Passo 3

Como W(x)=-4x^-1neq0 para xneq0, concluímos que y1 e y2 são linearmente independentes e, portanto, formam uma base das soluções. A solução geral da EDO é a combinação linear
y(x)=C1x^2+C2x^-2

Passo 4

Derivando, obtemos
y'(x)=2C1x-2C2x^-3

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais em x=1:
y(1)=C1+C2=11
y'(1)=2C1-2C2=-6

Passo 6

Resolvendo o sistema
C1+C2=11 2C1-2C2=-6
dividindo a segunda equação por 2 fica
C1+C2=11 C1-C2=-3
Somando as duas equações: 2C1=8 então C1=4. Substituindo em C1+C2=11 C2=7.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é y(x)=4x^2+7x^-2.

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