Resolva os problemas de valor iniciais propostos.
y^prime prime+pi y^prime=0, y(0)=3, y^prime(0)=-pi

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a EDO y'' + pi y' = 0 com condições iniciais y(0)=3 e y'(0)=-pi. O conteúdo aqui é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, e vamos usar a equação característica para encontrar a solução.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y(t)=e^rt. Substituindo na EDO obtemos a equação característica r^2 + pi r = 0, que fatorando dá r(r+pi)=0. Assim, as raízes são r1=0 e r2=-pi.

Passo 3

Como as raízes são distintas, a solução geral é y(t)=C1e^0cdot t + C2e^-pi t = C1 + C2e^-pi t. Para usar as condições iniciais, calculamos a derivada: y'(t)=-pi C2 e^-pi t.

Passo 4

Aplicando t=0: de y(0)=C1 + C2 = 3 e de y'(0)=-pi C2 = -pi tiramos C2=1. Substituindo em C1 + C2=3 resulta C1=2.

Passo 5

Portanto, a solução particular que satisfaz as condições iniciais é dada por y(t)=2 + e^-pi t.

Resposta

y(t)=2 + e^-pi t

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