Verifique que as funções dadas constituem uma base da EDO dada, e em seguida resolva o problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que as funções dadas são uma base da equação diferencial
Conteúdo: equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, independência linear (Wronskiano) e solução geral via combinação linear das soluções fundamentais. Para resolver, vamos precisar usar o cálculo do Wronskiano e depois ajustar constantes com as condições iniciais.
Passo 2
Para checar se e são linearmente independentes, calculamos o Wronskiano
Como o Wronskiano é não nulo, as funções são independentes e formam uma base da EDO.
Passo 3
A solução geral da equação y''-16y=0 é dada pela combinação linear das soluções fundamentais:
y(x)=C1e^4x+C2e^-4x
Passo 4
Agora usamos as condições iniciais para determinar C1 e C2. Primeiro derivamos:
y'(x)=4C1e^4x-4C2e^-4x
Em x=0 temos
y(0)=C1+C2=3, y'(0)=4C1-4C2=8
Dividindo a segunda equação por 4: C1 - C2 = 2. Resolvendo o sistema
C1 + C2 = 3 C1 - C2 = 2
obtemos C1=5/2 e C2=1/2.
Passo 5
Substituindo as constantes na solução geral, chegamos à solução que satisfaz o problema de valor inicial: