Verifique que as funções dadas constituem uma base da EDO dada, e em seguida resolva o problema de valor inicial dado.
y^prime prime-16 y=0, y1(x)=e^4 x, y2(x)=e^-4 x, y(0)=3, y^prime(0)=8

Passo 1

O enunciado pede para verificar que as funções dadas são uma base da equação diferencial
Conteúdo: equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, independência linear (Wronskiano) e solução geral via combinação linear das soluções fundamentais. Para resolver, vamos precisar usar o cálculo do Wronskiano e depois ajustar constantes com as condições iniciais.

Passo 2

Para checar se y1(x)=e^4x e y2(x)=e^-4x são linearmente independentes, calculamos o Wronskiano
W(y1,y2)(x)= y1(x) & y2(x) y1'(x) & y2'(x) = e^4x & e^-4x 4e^4x & -4e^-4x =-8neq0
Como o Wronskiano é não nulo, as funções são independentes e formam uma base da EDO.

Passo 3

A solução geral da equação y''-16y=0 é dada pela combinação linear das soluções fundamentais:
y(x)=C1e^4x+C2e^-4x

Passo 4

Agora usamos as condições iniciais para determinar C1 e C2. Primeiro derivamos:
y'(x)=4C1e^4x-4C2e^-4x
Em x=0 temos
y(0)=C1+C2=3, y'(0)=4C1-4C2=8
Dividindo a segunda equação por 4: C1 - C2 = 2. Resolvendo o sistema
C1 + C2 = 3 C1 - C2 = 2
obtemos C1=5/2 e C2=1/2.

Passo 5

Substituindo as constantes na solução geral, chegamos à solução que satisfaz o problema de valor inicial:
y(x)=52e^4x+12e^-4x

Resposta

y(x)=tfrac52e^4x+tfrac12e^-4x

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