Considere a curva C: r^2=2 sen 2 theta.
(9.1) Determine uma equação polar da curva C^prime simétrica de C em relação:
(b) ao eixo à 90^circ.

Passo 1

Temos a curva C dada por r^2 = 2sen(2theta). O que pedem é encontrar sua reflexão C' em relação ao eixo theta = 90^circ. Para isso vamos usar o fato de que, em polares, refletir em torno da reta de ângulo phi manda cada ponto (r,theta) em (r,theta') com theta' = 2phi - theta.

Passo 2

Como o eixo de reflexão é theta = 90^circ = pi/2, temos phi = pi/2 e assim
theta' = 2cdotpi2 - theta = pi - theta. Logo, cada ponto (r,theta) de C vira (r,theta') = (r,pi-theta) em $C’.

Passo 3

Para obter a equação de C' em (r,theta'), substituímos theta = pi-theta' na equação original:
r^2 = 2,senl(2(pi-theta')r)

Passo 4

Usando a identidade sen(2pi-2theta') = -sen(2theta'), temos
r^2 = -2,sen(2theta')

Passo 5

Renomeando theta' de volta para theta, chegamos à equação de C':
r^2 = -2,sen(2theta)

Resposta

r^2 = -2,sen(2theta)

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