O enunciado pede para resolver a EDO linear homogênea de ordem 3 com coeficientes constantes
y''' - 3y'' - y' + 3y = 0
sujeita às condições iniciais
y(0)=1,\quad y'(0)=-1,\quad y''(0)=3.
O conteúdo necessário é equacionar o polinômio característico, achar suas raízes, escrever a solução geral e ajustar as constantes usando as condições iniciais.
Passo 2
Formamos o polinômio característico trocando y^{(k)} por r^k:
r^3 - 3r^2 - r + 3 = 0.
Agrupando termos,
r^2(r-3) -1(r-3) = (r-3)(r^2-1) = 0,
portanto
r=3,\quad r^2-1=0\Longrightarrow r=\pm1.
Passo 3
Como as raízes são reais distintas, a solução geral é