(7 pontos) Resolva
y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+3 y=0 \quad \text { com } \quad y(0)=1, y^{\prime}(0)=-1, y^{\prime \prime}(0)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear homogênea de ordem 3 com coeficientes constantes
y''' - 3y'' - y' + 3y = 0
sujeita às condições iniciais
y(0)=1,\quad y'(0)=-1,\quad y''(0)=3.
O conteúdo necessário é equacionar o polinômio característico, achar suas raízes, escrever a solução geral e ajustar as constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

Formamos o polinômio característico trocando y^{(k)} por r^k:
r^3 - 3r^2 - r + 3 = 0.
Agrupando termos,
r^2(r-3) -1(r-3) = (r-3)(r^2-1) = 0,
portanto
r=3,\quad r^2-1=0\Longrightarrow r=\pm1.

Passo 3

Como as raízes são reais distintas, a solução geral é
y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{x} + C_3 e^{-x}.
Calculamos as derivadas
y'(x) = 3C_1 e^{3x} + C_2 e^{x} - C_3 e^{-x},
y''(x) = 9C_1 e^{3x} + C_2 e^{x} + C_3 e^{-x}.

Passo 4

Impondo as condições em x=0:
\begin{cases} y(0)=C_1 + C_2 + C_3 = 1,\\\ y'(0)=3C_1 + C_2 - C_3 = -1,\\\ y''(0)=9C_1 + C_2 + C_3 = 3. \end{cases}

Passo 5

Subtraindo a primeira da terceira equação:
(9C_1+C_2+C_3)-(C_1+C_2+C_3)=8C_1=2\Longrightarrow C_1=\tfrac14.
Então de C_1+C_2+C_3=1 vem C_2+C_3=\tfrac34.
E de 3C_1+C_2-C_3=-1 vem \tfrac34+C_2-C_3=-1, ou seja C_2-C_3=-\tfrac74.
Somando as duas últimas:
2C_2 = -1 \Longrightarrow C_2 = -\tfrac12,
e daí
C_3 = \tfrac34 - C_2 = \tfrac34 + \tfrac12 = \tfrac54.

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é
y(x) = \tfrac14 e^{3x} \;-\; \tfrac12 e^{x} \;+\; \tfrac54 e^{-x}.

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