Verifique se as funções dadas resolvem as respectivas EDO’s:
x y^prime-4 y=0, y=cc-x^4, & x<0 x^4, & x >= 0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
y(x)= -x^4,&x<0, x^4,&x>=0
é solução da EDO de primeira ordem
x,y' - 4y = 0
Para isso, vamos calcular y' em cada ramo e substituir na equação.

Passo 2

Para x<0 temos y(x)=-x^4. Logo
y'=ddx(-x^4)=-4x^3
Substituindo em x,y'-4y:
x(-4x^3)-4(-x^4)=-4x^4+4x^4=0,
portanto a EDO é satisfeita em x<0.

Passo 3

Para x>0 (ou x>=0, exceto no ponto singular) temos y(x)=x^4. Então
y'=ddx(x^4)=4x^3
Substituindo em x,y'-4y:
x(4x^3)-4(x^4)=4x^4-4x^4=0,
logo a EDO é satisfeita em x>0.

Passo 4

Em x=0 a equação vira -4y(0)=0, o que exige y(0)=0. Nossa função define
y(0)=0
e as derivadas laterais são
limxto0^-y'=0, limxto0^+y'=0,
então y é C^1 em 0 e satisfeito o requisito da EDO nesse ponto.

Resposta

A função dada satisfaz a EDO x,y'-4y=0 em x<0, em x>0 e verifica a condição em x=0; logo é solução em todo o domínio considerado.

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