Usando as propriedades dos limites, calcule
lim (x, y)->(pi / 2,2) e^y sen(x)

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=e^ysin(x)
quando (x,y)tol(tfracpi2,2r).
O conteúdo principal aqui é a propriedade de continuidade: sabemos que sin(x), a multiplicação e a exponencial são todas funções contínuas.

Passo 2

Como sin é contínua,
lim(x,y)to(pi/2,2)sin(x)=sinl(tfracpi2r)=1
Além disso, a projeção (x,y)mapsto y é contínua, logo
lim(x,y)to(pi/2,2)y=2
Pela continuidade do produto, temos
lim(x,y)to(pi/2,2)l(ysin(x)r) =l(lim yr),l(limsin(x)r) =2cdot1=2

Passo 3

Por fim, a função exponencial é contínua, então
lim(x,y)to(pi/2,2)e^ysin(x) =e^;lim(x,y)to(pi/2,2)(ysin(x)) =e^2

Resposta

e^2

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