- A temperatura em um ponto (
) de uma placa de metal plana é
graus:
a) Determine a temperatura no ponto ( 2,1 );
b) Determine a equação da curva ao longo da qual a temperatura tem um valor constante e igual a 100 graus;
c) Esboce a curva do item (b).
a) Determine a temperatura no ponto ( 2,1 );
b) Determine a equação da curva ao longo da qual a temperatura tem um valor constante e igual a 100 graus;
c) Esboce a curva do item (b).
Passo 1
O enunciado nos dá a temperatura numa placa como a função
(graus). As perguntas são:
- (a) Determinar a temperatura no ponto
. - (b) Determinar a equação da curva onde a temperatura é constante e igual a
graus. - (c) Esboçar a curva do item (b).
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
(peguei do enunciado). - O ponto
(peguei do enunciado). - O valor constante da temperatura para a curva é
(peguei do enunciado).
Passo 2
Vamos resolver (a): como avaliar uma função em um ponto.
Quando temos uma função de duas variáveis e queremos o valor em um ponto
, basta substituir
e
na expressão de
.
Quando temos uma função de duas variáveis
Aplicando em
no ponto
:
Calcule passo a passo:
Somando:
Interpretação rápida: a temperatura naquele ponto é
graus.
Passo 3
Agora (b): encontrar a curva de nível correspondente a temperatura
.
Uma curva de nível (ou isoterma) para uma função é o conjunto de pontos
que satisfazem
Uma curva de nível (ou isoterma) para uma função
Aqui a constante é
, então precisamos resolver:
Esse é um tipo de equação quadrática em
e
. Para reconhecer a forma geométrica (e facilitar o esboço), colocamos na forma padrão de uma elipse dividindo ambos os lados por
:
Simplificando as frações:
Observação:
e
. Portanto a equação em forma standard é
Conclusão: a curva é uma elipse centrada na origem com semi-eixo em
igual a
e semi-eixo em
igual a
.
Passo 4
Explicando como esboçar essa elipse (item (c)) — passo a passo prático para desenhar à mão:
- Marcar o centro em
. - Marcar os interceptos com os eixos:
- para
, dá . Pontos e . - para
, dá . Pontos e .
- para
- Traçar uma curva suave que passe por esses quatro pontos formando uma elipse alongada no sentido do eixo
(porque ).
Outra forma útil para desenhar: usar a parametrização
que gera a mesma elipse; basta calcular poucos pontos (por exemplo
) para ter referências ao desenhar.
Passo 5
Breve verificação física e comentário de ânimo:
- A temperatura no ponto
é , maior que , então esse ponto está fora da elipse (o que faz sentido: dentro da elipse a temperatura é menor que , fora é maior). - Respira fundo: esse tipo de exercício é sempre sobre substituir para (a) e reconhecer curvas de nível (elipses) para (b) e (c). Na prova, siga exatamente esses passos e desenhe os interceptos primeiro — ajuda muito.
Resposta
(a)
graus.
(b) , equivalently
.
(c) Elipse centrada em com semi-eixo em
igual a
(pontos
) e semi-eixo em
igual a
(pontos
); pode ser parametrizada por
.
(b)
(c) Elipse centrada em