1. A temperatura em um ponto ( x, y ) de uma placa de metal plana é T(x, y)=25 x^{2}+36 y^{2} graus:
    a) Determine a temperatura no ponto ( 2,1 );
    b) Determine a equação da curva ao longo da qual a temperatura tem um valor constante e igual a 100 graus;
    c) Esboce a curva do item (b).

Passo 1

O enunciado nos dá a temperatura numa placa como a função T(x,y)=25x^{2}+36y^{2} (graus). As perguntas são:
  • (a) Determinar a temperatura no ponto (2,1).
  • (b) Determinar a equação da curva onde a temperatura é constante e igual a 100 graus.
  • (c) Esboçar a curva do item (b).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de T(x,y) (peguei do enunciado).
  • O ponto (2,1) (peguei do enunciado).
  • O valor constante da temperatura para a curva é 100 (peguei do enunciado).

Passo 2

Vamos resolver (a): como avaliar uma função em um ponto.
Quando temos uma função de duas variáveis T(x,y) e queremos o valor em um ponto (x_0,y_0), basta substituir x=x_0 e y=y_0 na expressão de T.
Aplicando em T(x,y)=25x^{2}+36y^{2} no ponto (2,1):
T(2,1)=25\cdot(2)^{2}+36\cdot(1)^{2}.
Calcule passo a passo:
(2)^{2}=4,\qquad 25\cdot4=100,
(1)^{2}=1,\qquad 36\cdot1=36.
Somando:
T(2,1)=100+36=136.
Interpretação rápida: a temperatura naquele ponto é 136 graus.

Passo 3

Agora (b): encontrar a curva de nível correspondente a temperatura 100.
Uma curva de nível (ou isoterma) para uma função T(x,y) é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem
T(x,y)=\text{constante}.
Aqui a constante é 100, então precisamos resolver:
25x^{2}+36y^{2}=100.
Esse é um tipo de equação quadrática em x e y. Para reconhecer a forma geométrica (e facilitar o esboço), colocamos na forma padrão de uma elipse dividindo ambos os lados por 100:
\frac{25x^{2}}{100}+\frac{36y^{2}}{100}=1.
Simplificando as frações:
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{25/9}=1.
Observação: 4=2^{2} e \dfrac{25}{9}=\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2}. Portanto a equação em forma standard é
\frac{x^{2}}{2^{2}}+\frac{y^{2}}{\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2}}=1.
Conclusão: a curva é uma elipse centrada na origem com semi-eixo em x igual a 2 e semi-eixo em y igual a \dfrac{5}{3}.

Passo 4

Explicando como esboçar essa elipse (item (c)) — passo a passo prático para desenhar à mão:
  1. Marcar o centro em (0,0).
  2. Marcar os interceptos com os eixos:
    • para y=0, \dfrac{x^{2}}{4}=1 x=\pm2. Pontos (2,0) e (-2,0).
    • para x=0, \dfrac{y^{2}}{(5/3)^{2}}=1 y=\pm \dfrac{5}{3}. Pontos \left(0,\tfrac{5}{3}\right) e \left(0,-\tfrac{5}{3}\right).
  3. Traçar uma curva suave que passe por esses quatro pontos formando uma elipse alongada no sentido do eixo x (porque 2>5/3).
    Outra forma útil para desenhar: usar a parametrização
x=2\cos t,\qquad y=\frac{5}{3}\sin t,\qquad t\in[0,2\pi],
que gera a mesma elipse; basta calcular poucos pontos (por exemplo t=0,\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2},\ldots) para ter referências ao desenhar.

Passo 5

Breve verificação física e comentário de ânimo:
  • A temperatura no ponto (2,1) é 136^\circ, maior que 100^\circ, então esse ponto está fora da elipse 25x^{2}+36y^{2}=100 (o que faz sentido: dentro da elipse a temperatura é menor que 100, fora é maior).
  • Respira fundo: esse tipo de exercício é sempre sobre substituir para (a) e reconhecer curvas de nível (elipses) para (b) e (c). Na prova, siga exatamente esses passos e desenhe os interceptos primeiro — ajuda muito.

Resposta

(a) T(2,1)=136 graus.
(b) \;25x^{2}+36y^{2}=100, equivalently \dfrac{x^{2}}{2^{2}}+\dfrac{y^{2}}{\left(\tfrac{5}{3}\right)^{2}}=1.
(c) Elipse centrada em (0,0) com semi-eixo em x igual a 2 (pontos (\pm2,0)) e semi-eixo em y igual a \tfrac{5}{3} (pontos (0,\pm\tfrac{5}{3})); pode ser parametrizada por x=2\cos t,\;y=\tfrac{5}{3}\sin t.

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