1. Em um reator químico a distribuição de temperatura é modelada pela função
T(x, y)=120-4 x^{2}-2 y^{2}
Onde T é medida em { }^{\circ} C e x e y são coordenadas em metros
a) Determine a temperatura no ponto ( 3,2 );
b) Determine a equação da curva ao longo da qual a temperatura tem um valor constante e igual a 80^{\circ} \mathrm{C};
c) Esboce a curva do item (b).

Passo 1

O enunciado dá a função de temperatura em função das coordenadas (x,y):
T(x,y)=120-4x^{2}-2y^{2},
com T em {}^\circ\mathrm{C} e x,y em metros. As perguntas são:
  • (a) Determinar a temperatura no ponto (3,2).
  • (b) Determinar a equação da curva onde a temperatura é constante e igual a 80^\circ\mathrm{C}.
  • (c) Esboçar (descrever como desenhar) a curva do item (b).

Passo 2

(a) Avaliar a função no ponto (3,2).
Explicação da operação: para encontrar T num ponto específico basta substituir as coordenadas na fórmula e calcular. Isso usa apenas substituição e operações aritméticas.
Substituindo \,x=3 e \,y=2:
T(3,2)=120-4\cdot 3^{2}-2\cdot 2^{2}.
Calcule passo a passo:
3^{2}=9,\qquad 4\cdot 9=36,
2^{2}=4,\qquad 2\cdot 4=8,
T(3,2)=120-36-8=120-44=76.
Portanto a temperatura no ponto (3,2) é \,76^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

(b) Entender o que significa "curva onde a temperatura é 80^\circ\mathrm{C}".
A ideia: pedir a curva de nível (ou contorno) da função T(x,y) para o valor 80. Curva de nível é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem T(x,y)= valor fixo. Aqui queremos o conjunto
\{(x,y)\mid T(x,y)=80\}.
Então impõe-se a igualdade e resolve-se a equação para obter a forma geométrica da curva.

Passo 4

(b) Montar a equação resolvendo T(x,y)=80.
Começar pela igualdade:
120-4x^{2}-2y^{2}=80.
Isolar os termos quadráticos:
-4x^{2}-2y^{2}=80-120=-40.
Multiplicar por -1:
4x^{2}+2y^{2}=40.
Dividir ambos os lados por 40 para obter a forma padrão:
\frac{4x^{2}}{40}+\frac{2y^{2}}{40}=1.
Simplificar as frações:
\frac{x^{2}}{10}+\frac{y^{2}}{20}=1.
Isto é a equação padrão de uma elipse centrada na origem.

Passo 5

Interpretação geométrica da equação encontrada (como desenhar a elipse).
Regra: a equação
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
representa uma elipse centrada na origem com semieixo horizontal a e semieixo vertical b.
Comparando com \dfrac{x^{2}}{10}+\dfrac{y^{2}}{20}=1 temos
a^{2}=10,\qquad b^{2}=20,
portanto
a=\sqrt{10}\approx 3{,}1623,\qquad b=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx 4{,}4721.
Pontos notáveis (interceptos com os eixos):
  • Quando y=0: \dfrac{x^{2}}{10}=1\Rightarrow x=\pm\sqrt{10}\approx\pm 3{,}1623.
  • Quando x=0: \dfrac{y^{2}}{20}=1\Rightarrow y=\pm\sqrt{20}\approx\pm 4{,}4721.
Outra forma útil para desenhar é a parametrização:
x=\sqrt{10}\cos t,\qquad y=\sqrt{20}\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).
Observação sobre orientação: não há termo em xy, logo os eixos da elipse estão alinhados com os eixos x e y. Como b>a, o eixo maior é vertical (direção y).

Passo 6

(c) Instruções práticas para esboçar a curva no papel (passo a passo):
  1. Marque o centro em (0,0).
  2. Marque os interceptos: (\pm\sqrt{10},0)\approx(\pm3{,}16,0) e (0,\pm\sqrt{20})\approx(0,\pm4{,}47).
  3. Desenhe uma curva lisa que passe por esses quatro pontos, simétrica em relação aos eixos x e y, fechando-se formando uma elipse alongada verticalmente.
  4. Se quiser mais pontos, use a parametrização com alguns valores de t (por ex. t=0,\pi/4,\pi/2,\ldots) para calcular coordenadas e melhorar o traço.
Pronto — essa é a elipse que representa a curva de temperatura 80^\circ\mathrm{C}.

Resposta

(a) T(3,2)=76^\circ\mathrm{C}
(b) Equação da curva: \dfrac{x^{2}}{10}+\dfrac{y^{2}}{20}=1 (equivalentemente 4x^{2}+2y^{2}=40).
(c) Esboço: elipse centrada em (0,0) com semieixos a=\sqrt{10}\approx3{,}162 (horizontal) e b=\sqrt{20}\approx4{,}472 (vertical); interceptos em (\pm\sqrt{10},0) e (0,\pm\sqrt{20}).

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