- Em um reator químico a distribuição de temperatura é modelada pela função
Onde
é medida em
e
e
são coordenadas em metros
a) Determine a temperatura no ponto ( 3,2 );
b) Determine a equação da curva ao longo da qual a temperatura tem um valor constante e igual a
;
c) Esboce a curva do item (b).
a) Determine a temperatura no ponto ( 3,2 );
b) Determine a equação da curva ao longo da qual a temperatura tem um valor constante e igual a
c) Esboce a curva do item (b).
Passo 1
O enunciado dá a função de temperatura em função das coordenadas
:
com
em
e
em metros. As perguntas são:
- (a) Determinar a temperatura no ponto
. - (b) Determinar a equação da curva onde a temperatura é constante e igual a
. - (c) Esboçar (descrever como desenhar) a curva do item (b).
Passo 2
(a) Avaliar a função no ponto
.
Explicação da operação: para encontrar
num ponto específico basta substituir as coordenadas na fórmula e calcular. Isso usa apenas substituição e operações aritméticas.
Substituindo
e
:
Calcule passo a passo:
Portanto a temperatura no ponto
é
.
Passo 3
(b) Entender o que significa "curva onde a temperatura é
".
A ideia: pedir a curva de nível (ou contorno) da função
para o valor
. Curva de nível é o conjunto de pontos
que satisfazem
valor fixo. Aqui queremos o conjunto
Então impõe-se a igualdade e resolve-se a equação para obter a forma geométrica da curva.
Passo 4
(b) Montar a equação resolvendo
.
Começar pela igualdade:
Isolar os termos quadráticos:
Multiplicar por
:
Dividir ambos os lados por
para obter a forma padrão:
Simplificar as frações:
Isto é a equação padrão de uma elipse centrada na origem.
Passo 5
Interpretação geométrica da equação encontrada (como desenhar a elipse).
Regra: a equação
representa uma elipse centrada na origem com semieixo horizontal
e semieixo vertical
.
Comparando com
temos
portanto
Pontos notáveis (interceptos com os eixos):
- Quando
: . - Quando
: .
Outra forma útil para desenhar é a parametrização:
Observação sobre orientação: não há termo em
, logo os eixos da elipse estão alinhados com os eixos
e
. Como
, o eixo maior é vertical (direção
).
Passo 6
(c) Instruções práticas para esboçar a curva no papel (passo a passo):
- Marque o centro em
. - Marque os interceptos:
e . - Desenhe uma curva lisa que passe por esses quatro pontos, simétrica em relação aos eixos
e , fechando-se formando uma elipse alongada verticalmente. - Se quiser mais pontos, use a parametrização com alguns valores de
(por ex. ) para calcular coordenadas e melhorar o traço.
Pronto — essa é a elipse que representa a curva de temperatura
.
Resposta
(a)
(b) Equação da curva: (equivalentemente
).
(c) Esboço: elipse centrada em com semieixos
(horizontal) e
(vertical); interceptos em
e
.
(b) Equação da curva:
(c) Esboço: elipse centrada em