Na análise do crescimento de população humanas, um tipo de equação conhecido como equação logística oferece um modelo mais realista que o crescimento exponencial. Por exemplo: alguns cientistas modelam a população mundial usando a equação logística P(t)=73,26,1+5,9 e^-0,016 t. Onde t é o número de anos após o ano de 2000 e P é a população mundial em bilhões de habitantes. Para t=0, esta equação nos dá P(t)=6,1 bilhões de habitantes, que é o valor aproximado da população mundial no ano 2000.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está nos apresentando. A gente está falando sobre o crescimento da população humana e como a equação logística é um modelo mais realista para isso do que o crescimento exponencial. A equação que temos é:
P(t) = 73,26,1 + 5,9 e^-0,016 t
Aqui, $ t $ representa o número de anos após o ano 2000, e $ \mathrm{P}(t) $ é a população mundial em bilhões de habitantes. Nosso objetivo vai ser entender essa equação e como ela descreve a evolução da população ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os componentes dessa equação. A equação logística geralmente tem a forma:
P(t) = K1 + (K - P0P0) e^-rt
Onde:
  • $ \mathrm{K} $ é a capacidade de suporte, ou seja, a população máxima que o ambiente pode sustentar.
  • $ \mathrm{P}_0 $ é a população inicial.
  • $ r $ é a taxa de crescimento.
  • $ t $ é o tempo.
Comparando com a equação que a gente tem:
K
Podemos identificar:
  • $ \mathrm{K} = 73,2 $ bilhões
  • $ \mathrm{P}_0 = 6,1 $ bilhões
  • $ r = 0,016 $ por ano

Passo 3

Agora, vamos verificar o que acontece quando $ t = 0 $. Substituindo na equação:
t = 0 õ
Isso confirma que no ano 2000 ($ t = 0 $), a população era de aproximadamente 6,1 bilhões de habitantes, como mencionado no enunciado.

Passo 4

Vamos dar uma olhada no que acontece conforme o tempo passa. Conforme $ t $ aumenta, $ \mathrm{e}^{-0,016 t} $ diminui porque o expoente é negativo. Isso faz com que o denominador da fração diminua, aumentando assim o valor de $ \mathrm{P}(t) $.
No limite, quando $ t $ tende ao infinito:
t õ
Isso significa que a população mundial tende a se estabilizar em cerca de 12 bilhões de habitantes no longo prazo.

Passo 5

Se quisermos calcular a população em um ano específico após 2000, por exemplo, em 2020 ($ t = 20 $ anos), vamos substituir na equação:
t = 20
Calculando $ \mathrm{e}^{-0,32} $:
P(20) = 73,26,1 + 5,9 e^-0,016 times 20 = 73,26,1 + 5,9 e^-0,32
Então:
e^-0,32 õ

Resposta

A população mundial prevista para o ano de 2020, de acordo com a equação logística fornecida, é aproximadamente 7,05 bilhões de habitantes.

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