Verifique se as funções dadas são limitadas em
. Determine os pontos/valores de máximo e mínimo de
.
Passo 1
Temos a função f(x)=1/x e queremos verificar se ela é limitada em seu domínio natural D_f e, caso existam, achar os pontos e valores de máximo e mínimo.
Passo 2
O domínio natural de f é D_f={x∈ℝ∣x≠0}. Isso nos dá dois intervalos desconexos: (0,∞) e (−∞,0). Para estudar limites, extremos e boundedness, precisamos analisar separadamente cada um.
Passo 3
No intervalo (0,∞), f(x)=1/x é positiva e estritamente decrescente. Ao calcular os limites nas extremidades:
Quando x→0+ temos
Quando x→+∞ temos
Portanto o conjunto imagem de f em (0,∞) é (0,∞). Logo em (0,∞) não há valor máximo (f cresce sem limite ao aproximar de 0) nem valor mínimo (0 é ínfimo mas não é alcançado).
Passo 4
No intervalo (−∞,0), f(x)=1/x é negativa e estritamente crescente. Calculando os limites:
Quando x→−∞ temos
Quando x→0− temos
Então a imagem de f em (−∞,0) é (−∞,0). Portanto não existe máximo (0 é supremo mas não é alcançado) nem mínimo (f→−∞ sem limite) nesse intervalo.
Passo 5
Como em nenhum dos dois pedaços do domínio f atinge extremos e ainda é não limitada (tanto acima como abaixo), concluímos que f não é limitada em D_f e não possui pontos nem valores de máximo ou mínimo em D_f.
Resposta
A função não é limitada em seu domínio D_f={x≠0} e não possui pontos nem valores de máximo ou mínimo.