Verifique que as funções dadas são soluções da equação de Laplace
:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é solução da equação de Laplace
Para isso, vamos calcular em sequência as derivadas parciais de segunda ordem em
e em
, e então somá-las.
Passo 2
Calcular
e
. Defina
de modo que
. Então
Logo
Para
usamos
mas é mais direto agrupar: note que
com
e
Então
Portanto
Passo 3
Calcular
e
. De modo análogo,
então
Defina
Calculando
vem
Passo 4
Somando
e
:
As contribuições em
e em
se cancelam exatamente.
Resposta
A função
satisfaz
logo é solução da equação de Laplace.