Verifique que as funções dadas são soluções da equação de Laplace u_{x x}+u_{y y}=0 :
(d) u=e^{x^{2}-y^{2}} \operatorname{sen} 2 x y

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
u(x,y) = e^{x^{2}-y^{2}}\sin(2xy)
é solução da equação de Laplace
u_{xx}+u_{yy}=0.
Para isso, vamos calcular em sequência as derivadas parciais de segunda ordem em x e em y, e então somá-las.

Passo 2

Calcular u_x e u_{xx}. Defina
f(x,y)=e^{x^{2}-y^{2}}, \qquad h(x,y)=\sin(2xy),
de modo que u=f\,h. Então
f_x = 2x\,e^{x^{2}-y^{2}}, \qquad h_x = 2y\cos(2xy).
Logo
u_x = f_x\,h + f\,h_x = e^{x^{2}-y^{2}}\bigl(2x\sin(2xy)+2y\cos(2xy)\bigr).
Para u_{xx} usamos
u_{xx} = (f_x\,h + f\,h_x)_x = f_x\,h_x + f_{xx}\,h + f_x\,h_x + f\,h_{xx},
mas é mais direto agrupar: note que u_x=e^{A}G com A=x^2-y^2 e
G(x,y)=2x\sin(2xy)+2y\cos(2xy).
Então
f_x=2x e^{A}, \quad G_x = 2\sin(2xy) +4xy\cos(2xy) -4y^{2}\sin(2xy).
Portanto
u_{xx} = f_x\,G + f\,G_x = e^{A}\Bigl[(4x^{2}+2-4y^{2})\sin(2xy)+8xy\cos(2xy)\Bigr].

Passo 3

Calcular u_y e u_{yy}. De modo análogo,
f_y = -2y\,e^{x^{2}-y^{2}}, \qquad h_y = 2x\cos(2xy),
então
u_y = f_y\,h + f\,h_y = e^{x^{2}-y^{2}}\bigl(-2y\sin(2xy)+2x\cos(2xy)\bigr).
Defina
H(x,y) = -2y\sin(2xy)+2x\cos(2xy).
Calculando
H_y = (-2)\sin(2xy)-4xy\cos(2xy)-4x^{2}\sin(2xy),
vem
u_{yy} = f_y\,H + f\,H_y = e^{x^{2}-y^{2}}\Bigl[(-4x^{2}+4y^{2}-2)\sin(2xy)-8xy\cos(2xy)\Bigr].

Passo 4

Somando u_{xx} e u_{yy}:
u_{xx}+u_{yy} = e^{x^{2}-y^{2}}\bigl[(4x^{2}+2-4y^{2}) +(-4x^{2}+4y^{2}-2)\bigr]\sin(2xy) +e^{x^{2}-y^{2}}\bigl[8xy-8xy\bigr]\cos(2xy) =0.
As contribuições em \sin(2xy) e em \cos(2xy) se cancelam exatamente.

Resposta

A função u=e^{x^{2}-y^{2}}\sin(2xy) satisfaz
u_{xx}+u_{yy}=0,
logo é solução da equação de Laplace.

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