Verifique que as funções dadas são soluções da equação de Laplace u_{x x}+u_{y y}=0 :
(c) u=\cos 2 y \operatorname{senh} 2 x

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
u(x,y)=\cos(2y)\,\operatorname{sinh}(2x)
satisfaz a equação de Laplace
u_{xx}+u_{yy}=0.
Vamos calcular as derivadas parciais segunda em relação a x e y e somá-las.

Passo 2

Calculemos primeiro u_x e u_{xx}. Como \cos(2y) é constante em relação a x, temos
u_x=\cos(2y)\,\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sinh}(2x)\bigr] =\cos(2y)\cdot2\operatorname{cosh}(2x) =2\cos(2y)\operatorname{cosh}(2x).
Agora derivamos novamente em x:
u_{xx} =\frac{d}{dx}\bigl[2\cos(2y)\operatorname{cosh}(2x)\bigr] =2\cos(2y)\cdot2\operatorname{sinh}(2x) =4\cos(2y)\operatorname{sinh}(2x).

Passo 3

Agora calculamos u_y e u_{yy}. Aqui \operatorname{sinh}(2x) é constante em relação a y, logo
u_y =\operatorname{sinh}(2x)\,\frac{d}{dy}\bigl[\cos(2y)\bigr] =\operatorname{sinh}(2x)\cdot(-2\sin(2y)) =-2\sin(2y)\operatorname{sinh}(2x).
Derivando novamente em y:
u_{yy} =\frac{d}{dy}\bigl[-2\sin(2y)\operatorname{sinh}(2x)\bigr] =-2\operatorname{sinh}(2x)\cdot2\cos(2y) =-4\cos(2y)\operatorname{sinh}(2x).

Passo 4

Somando as derivadas segundas:
u_{xx}+u_{yy} =4\cos(2y)\operatorname{sinh}(2x)+\bigl(-4\cos(2y)\operatorname{sinh}(2x)\bigr) =0.
Portanto,
u_{xx}+u_{yy}=0,
o que mostra que u(x,y) é solução da equação de Laplace.

Resposta

A função u=\cos(2y)\operatorname{sinh}(2x) satisfaz u_{xx}+u_{yy}=0, logo é solução da equação de Laplace.

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