Verifique se as funções dadas são soluções das respectivas equações diferenciais:
com função
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
satisfaz a equação diferencial
Informações dadas:
.
Pergunta explícita: calcular e
e checar se a soma é zero. Observação importante (dada pelo enunciado da função):
não está definida em
porque
é indefinido; portanto podemos testar a igualdade apenas para
.
Pergunta explícita: calcular
Passo 2
Vou calcular as derivadas parciais primeiras. Para isso uso a regra da cadeia: se
então
. Aqui
. Aplicando a derivada parcial em
:
Como
, obtemos
Passo 3
De modo análogo, derivando em
obtemos
Passo 4
Agora calculo
. Vou usar a regra do quociente: se
então
. Aqui, para derivar em
,
Aplicando a fórmula:
Simplificando o numerador:
logo
Passo 5
Agora calculo
de forma análoga (troca
por
nos passos anteriores). Tomando
temos
Simplificando:
portanto
Passo 6
Agora somo
e
:
Como os numeradores são opostos, eles se cancelam:
logo
para todo
tal que
, isto é, para
.
Passo 7
Conclusão didática curta: portanto a função
satisfaz a equação
em todo o domínio onde está definida, isto é, em
. Um comentário extra útil para a prova: essa verificação usa apenas regra da cadeia e regra do quociente — ferramentas básicas que você pode aplicar sempre que tiver
de uma função e precisar de segundas derivadas.
Resposta
Sim.
para
.