Verifique se as funções dadas são soluções das respectivas equações diferenciais:
\Psi_{x x}+\Psi_{y y}=0 com função \Psi(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função \Psi(x,y)=\ln\!\big(x^{2}+y^{2}\big) satisfaz a equação diferencial
\Psi_{x x}+\Psi_{y y}=0.
Informações dadas:
\Psi(x,y)=\ln\!\big(x^{2}+y^{2}\big).
Pergunta explícita: calcular \Psi_{x x} e \Psi_{y y} e checar se a soma é zero. Observação importante (dada pelo enunciado da função): \Psi não está definida em (x,y)=(0,0) porque \ln 0 é indefinido; portanto podemos testar a igualdade apenas para (x,y)\neq(0,0).

Passo 2

Vou calcular as derivadas parciais primeiras. Para isso uso a regra da cadeia: se f(u)=\ln u então f'(u)=1/u. Aqui u(x,y)=x^{2}+y^{2}. Aplicando a derivada parcial em x:
\Psi_{x}=\frac{\partial}{\partial x}\ln\!\big(x^{2}+y^{2}\big)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}+y^{2}\big).
Como \partial (x^{2}+y^{2})/\partial x = 2x, obtemos
\Psi_{x}=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 3

De modo análogo, derivando em y obtemos
\Psi_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\ln\!\big(x^{2}+y^{2}\big)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}+y^{2}\big)=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Agora calculo \Psi_{x x}. Vou usar a regra do quociente: se g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} então g'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}. Aqui, para derivar em x,
u(x)=2x,\qquad v(x)=x^{2}+y^{2},\qquad u'(x)=2,\qquad v'(x)=2x.
Aplicando a fórmula:
\Psi_{x x}=\frac{2(x^{2}+y^{2})-(2x)(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{2(x^{2}+y^{2})-4x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Simplificando o numerador:
2(x^{2}+y^{2})-4x^{2}=2x^{2}+2y^{2}-4x^{2}=2(y^{2}-x^{2}),
logo
\Psi_{x x}=\frac{2\big(y^{2}-x^{2}\big)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 5

Agora calculo \Psi_{y y} de forma análoga (troca x por y nos passos anteriores). Tomando
u(y)=2y,\qquad v(y)=x^{2}+y^{2},\qquad u'(y)=2,\qquad v'(y)=2y,
temos
\Psi_{y y}=\frac{2(x^{2}+y^{2})-(2y)(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{2(x^{2}+y^{2})-4y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Simplificando:
2(x^{2}+y^{2})-4y^{2}=2x^{2}+2y^{2}-4y^{2}=2(x^{2}-y^{2}),
portanto
\Psi_{y y}=\frac{2\big(x^{2}-y^{2}\big)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 6

Agora somo \Psi_{x x} e \Psi_{y y}:
\Psi_{x x}+\Psi_{y y}=\frac{2\big(y^{2}-x^{2}\big)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}+\frac{2\big(x^{2}-y^{2}\big)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Como os numeradores são opostos, eles se cancelam:
2\big(y^{2}-x^{2}\big)+2\big(x^{2}-y^{2}\big)=0,
logo
\Psi_{x x}+\Psi_{y y}=0
para todo (x,y) tal que x^{2}+y^{2}\neq 0, isto é, para (x,y)\neq(0,0).

Passo 7

Conclusão didática curta: portanto a função \Psi(x,y)=\ln\!\big(x^{2}+y^{2}\big) satisfaz a equação \Psi_{x x}+\Psi_{y y}=0 em todo o domínio onde está definida, isto é, em (x,y)\neq(0,0). Um comentário extra útil para a prova: essa verificação usa apenas regra da cadeia e regra do quociente — ferramentas básicas que você pode aplicar sempre que tiver \ln de uma função e precisar de segundas derivadas.

Resposta

Sim. \Psi_{x x}+\Psi_{y y}=0 para (x,y)\neq(0,0).

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