Verifique que as funçōes dadas satisfazem à equaçāo de Laplace:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \div \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0
(c) f(x, y)=\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right), x>0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} = 0
quando
f(x,y)=\arctan\!\biggl(\frac{y}{x}\biggr), \quad x>0.
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais primeiras e segundas de f.

Passo 2

Primeiro obtemos \displaystyle f_x=\frac{\partial f}{\partial x} e \displaystyle f_y=\frac{\partial f}{\partial y}.
Para \displaystyle f_x, use a regra da cadeia em \displaystyle u=\frac{y}{x}:
f_x =\frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{1}{1+(y/x)^{2}}\cdot\bigl(-\tfrac{y}{x^{2}}\bigr) =-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.
Para \displaystyle f_y, temos
f_y =\frac{1}{1+(y/x)^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) =\frac{1}{1+(y/x)^{2}}\cdot\frac{1}{x} =\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 3

Agora calculamos as segundas derivadas.
Para \displaystyle f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(f_x):
f_{xx} =\frac{\partial}{\partial x}\!\Bigl(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\Bigr) =-y\cdot\bigl(-1\bigr)\frac{2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Para \displaystyle f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(f_y):
f_{yy} =\frac{\partial}{\partial y}\!\Bigl(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\Bigr) =x\cdot(-1)\frac{2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =-\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 4

Somando as segundas derivadas:
f_{xx}+f_{yy} =\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}} -\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =0.
Portanto, f satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

A função f(x,y)=\arctan(y/x) satisfaz
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} = 0.

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