Determine a linearizaçăo das seguintes funçües, ao redor dos pontos dados:
(a) f(x, y)=\operatorname{sen}(x y),(0,1).
(a) \sqrt[4]{1.0022^{2}+0.0023^{2}+0.00098^{2}}.
(b) f(x, y, z)=\sqrt[4]{x^{2}+y^{2}+z^{2}},(1,0,0).
(b) 0.98 \times 0.99 \times 1.02.
(c) f(x, y, z)=x y z,(1,1,1).
(c) 3.001 \times(2.0023)^{3} \times \cos ((1.002) \pi).
(d) f(x, y, z)=(x y)^{z},(12,10,1).
(e) f(x, y, z)=x y^{2}+\cos (\pi z),(1,3,1)
(f) f(x, y, z)=x^{2}-y^{2}-z^{2}+x y z,(1,1,0)

Passo 1

Para linearizar uma função de várias variáveis f em torno de um ponto \mathbf{a}, usamos a fórmula da aproximação de primeira ordem (polinômio de Taylor de grau 1):
L(\mathbf{x}) \;=\; f(\mathbf{a}) \;+\;\nabla f(\mathbf{a})\cdot\bigl(\mathbf{x}-\mathbf{a}\bigr),
onde \nabla f(\mathbf{a}) é o gradiente de f avaliado em \mathbf{a}. A cada parte abaixo vamos (1) calcular f(\mathbf{a}), (2) computar as derivadas parciais em \mathbf{a} e (3) montar L.

Passo 2

(a)  f(x,y)=\sin(xy), ponto (x_0,y_0)=(0,1).
  1. f(0,1)=\sin(0\cdot1)=0.
f_x(x,y)=y\cos(xy),\quad f_y(x,y)=x\cos(xy).
Em (0,1):
f_x(0,1)=1\cdot\cos0=1,\quad f_y(0,1)=0\cdot\cos0=0.
  1. Logo
L(x,y)=0+1\,(x-0)+0\,(y-1)=x.

Passo 3

(b)  f(x,y,z)=\sqrt[4]{\,x^2+y^2+z^2\,}=(x^2+y^2+z^2)^{1/4}, ponto (1,0,0).
  1. f(1,0,0)=(1^2+0+0)^{1/4}=1.
f_x=\tfrac14(x^2+y^2+z^2)^{-3/4}\cdot2x =\tfrac{x}{2\,(x^2+y^2+z^2)^{3/4}},\quad\text{sim.\\ para }f_y,f_z.
Em (1,0,0):
f_x(1,0,0)=\tfrac{1}{2\cdot1^{3/4}}=\tfrac12,\quad f_y(1,0,0)=0,\quad f_z(1,0,0)=0.
L(x,y,z) =1+\tfrac12\,(x-1)+0\,(y-0)+0\,(z-0) =1+\tfrac12(x-1).

Passo 4

(c)  f(x,y,z)=xyz, ponto (1,1,1).
  1. f(1,1,1)=1\cdot1\cdot1=1.
f_x=yz,\quad f_y=xz,\quad f_z=xy.
Em (1,1,1):
f_x(1,1,1)=1,\quad f_y(1,1,1)=1,\quad f_z(1,1,1)=1.
L(x,y,z)=1+1\,(x-1)+1\,(y-1)+1\,(z-1) =1+(x-1)+(y-1)+(z-1).

Passo 5

(d)  f(x,y,z)=(xy)^z, ponto (12,10,1).
  1. f(12,10,1)=(12\cdot10)^1=120.
\ln f=\;z\ln(xy) \;\Longrightarrow\; f_x=f\;\frac{z}{x},\quad f_y=f\;\frac{z}{y},\quad f_z=f\;\ln(xy).
Em (12,10,1):
f_x=120\cdot\frac{1}{12}=10,\quad f_y=120\cdot\frac{1}{10}=12,\quad f_z=120\ln(120).
L(x,y,z) =120+10\,(x-12)+12\,(y-10)+120\ln(120)\,(z-1).

Passo 6

(e)  f(x,y,z)=x\,y^2+\cos(\pi z), ponto (1,3,1).
  1. f(1,3,1)=1\cdot3^2+\cos(\pi\cdot1)=9-1=8.
f_x=y^2,\quad f_y=2xy,\quad f_z=-\pi\sin(\pi z).
Em (1,3,1):
f_x=3^2=9,\quad f_y=2\cdot1\cdot3=6,\quad f_z=-\pi\sin(\pi)=0.
L(x,y,z) =8+9\,(x-1)+6\,(y-3)+0\,(z-1) =8+9(x-1)+6(y-3).

Passo 7

(f)  f(x,y,z)=x^2 - y^2 - z^2 + x y z, ponto (1,1,0).
  1. f(1,1,0)=1-1-0+1\cdot1\cdot0=0.
f_x=2x+yz,\quad f_y=-2y+xz,\quad f_z=-2z+xy.
Em (1,1,0):
f_x=2\cdot1+1\cdot0=2,\quad f_y=-2\cdot1+1\cdot0=-2,\quad f_z=-2\cdot0+1\cdot1=1.
L(x,y,z) =0+2\,(x-1)-2\,(y-1)+1\,(z-0) =2(x-1)-2(y-1)+z.

Resposta

(a) L(x,y)=x.
(b) L(x,y,z)=1+\tfrac12(x-1).
(c) L(x,y,z)=1+(x-1)+(y-1)+(z-1).
(d) L(x,y,z)=120+10(x-12)+12(y-10)+120\ln(120)\,(z-1).
(e) L(x,y,z)=8+9(x-1)+6(y-3).
(f) L(x,y,z)=2(x-1)-2(y-1)+z.

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