Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também \lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}, caso exista.
u_{n}=7^{-n} 3^{n-1}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar os quatro primeiros termos da sequência dada por u_{n}=7^{-n}3^{n-1} e (2) calcular \lim_{n\to\infty} u_{n}, caso exista. A informação que temos é exatamente a fórmula da sequência:
u_{n}=7^{-n}\,3^{\,n-1},
e vamos considerar n=1,2,3,4,\dots para obter os primeiros termos.
Passo 2
Antes de calcular os termos, é útil simplificar a expressão usando regras de potências. Lembra dessas duas regras básicas?
Potência negativa: para qualquer a\neq0 e inteiro n, a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}.
Produto e divisão de potências com mesma base: a^{m}/a^{k}=a^{m-k}, quando a base é a mesma.
Aplicando a primeira regra a 7^{-n} e reescrevendo 3^{n-1} como \dfrac{3^{n}}{3}, temos:
Agora o limite quando n\to\infty. Observe a expressão
u_{n}=\frac{1}{3}\left(\frac{3}{7}\right)^{n}.
A base \frac{3}{7} tem valor absoluto menor que 1, pois \left|\frac{3}{7}\right|=\frac{3}{7}<1. Uma propriedade padrão de potências é: se |r|<1, então r^{n}\to 0 quando n\to\infty. Intuição: multiplicar repetidamente por um número menor que 1 faz a sequência encolher até zero.
Aplicando isso aqui, \left(\frac{3}{7}\right)^{n}\to 0, e como \frac{1}{3} é apenas um fator constante multiplicativo, segue que