Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também \lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}, caso exista.
u_{n}=7^{-n} 3^{n-1}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar os quatro primeiros termos da sequência dada por u_{n}=7^{-n}3^{n-1} e (2) calcular \lim_{n\to\infty} u_{n}, caso exista. A informação que temos é exatamente a fórmula da sequência:
u_{n}=7^{-n}\,3^{\,n-1},
e vamos considerar n=1,2,3,4,\dots para obter os primeiros termos.

Passo 2

Antes de calcular os termos, é útil simplificar a expressão usando regras de potências. Lembra dessas duas regras básicas?
  • Potência negativa: para qualquer a\neq0 e inteiro n, a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}.
  • Produto e divisão de potências com mesma base: a^{m}/a^{k}=a^{m-k}, quando a base é a mesma.
Aplicando a primeira regra a 7^{-n} e reescrevendo 3^{n-1} como \dfrac{3^{n}}{3}, temos:
u_{n}=7^{-n}3^{n-1}=\frac{3^{n-1}}{7^{n}}=\frac{3^{n}}{3\cdot 7^{n}}.

Passo 3

Continuando a simplificação, colocamos a potência n em evidência:
u_{n}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3^{n}}{7^{n}}=\frac{1}{3}\left(\frac{3}{7}\right)^{n}.
Essa forma é muito útil: vemos que a sequência é da forma constante vezes uma potência \left(\frac{3}{7}\right)^{n}. Ou seja,
u_{n}=\frac{1}{3}\left(\frac{3}{7}\right)^{n}.
Aqui \frac{1}{3} é um fator multiplicativo e \frac{3}{7} é a razão da potência que depende de n.

Passo 4

Agora calculamos o primeiro termo, tomando n=1. Usando a forma simplificada:
u_{1}=\frac{1}{3}\left(\frac{3}{7}\right)^{1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{7}=\frac{1}{7}.
(O mesmo resultado obtém-se direto substituindo em 7^{-n}3^{n-1}: 7^{-1}3^{0}=\dfrac{1}{7}\cdot 1=\dfrac{1}{7}.)

Passo 5

Agora n=2:
u_{2}=\frac{1}{3}\left(\frac{3}{7}\right)^{2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{9}{49}=\frac{9}{147}=\frac{3}{49}.
Fiz a simplificação dividindo numerador e denominador por 3.

Passo 6

Para n=3:
u_{3}=\frac{1}{3}\left(\frac{3}{7}\right)^{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{27}{343}=\frac{27}{1029}=\frac{9}{343}.
Novamente simplifiquei dividindo por 3.

Passo 7

Para n=4:
u_{4}=\frac{1}{3}\left(\frac{3}{7}\right)^{4}=\frac{1}{3}\cdot\frac{81}{2401}=\frac{81}{7203}=\frac{27}{2401}.
Simplifiquei dividindo por 3.

Passo 8

Agora o limite quando n\to\infty. Observe a expressão
u_{n}=\frac{1}{3}\left(\frac{3}{7}\right)^{n}.
A base \frac{3}{7} tem valor absoluto menor que 1, pois \left|\frac{3}{7}\right|=\frac{3}{7}<1. Uma propriedade padrão de potências é: se |r|<1, então r^{n}\to 0 quando n\to\infty. Intuição: multiplicar repetidamente por um número menor que 1 faz a sequência encolher até zero.
Aplicando isso aqui, \left(\frac{3}{7}\right)^{n}\to 0, e como \frac{1}{3} é apenas um fator constante multiplicativo, segue que
\lim_{n\to\infty} u_{n}=\frac{1}{3}\cdot 0=0.

Resposta

u_{1}=\dfrac{1}{7}
u_{2}=\dfrac{3}{49}
u_{3}=\dfrac{9}{343}
u_{4}=\dfrac{27}{2401}
\displaystyle \lim_{n\to\infty}u_{n}=0

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