Verifique que as funções dadas y1 e y2 satisfazem a equação homogênea associada, depois encontre uma solução particular da equação não-homogênea dada.
t^2 y^prime prime-t(t+2) y^prime+(t+2) y=2 t^3, t> 0 , y1(t)=t, y2(t)=t e^2

Passo 1

O enunciado dá a equação
t^2y''-t(t+2)y'+(t+2)y=2t^3, t>0,
e fornece duas funções y1(t)=t e y2(t)=t e^t que supostamente satisfazem a equação homogênea
t^2y''-t(t+2)y'+(t+2)y=0
Vamos primeiro verificar que elas são soluções do homogêneo e depois usar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular da equação não-homogênea.

Passo 2

Verificação de y1(t)=t:
Calculemos y1'=1 e y1''=0. Substituindo na parte homogênea,
t^2cdot0 ;-;t(t+2)cdot1;+;(t+2)cdot t =-t^2-2t+t^2+2t=0
Logo y1 satisfaz a homogênea.

Passo 3

Verificação de y2(t)=t e^t:
Temos
y2'=e^t(t+1), y2''=e^t(t+2)
Substituindo na homogênea,
t^2e^t(t+2)-t(t+2)e^t(t+1)+(t+2)t e^t =e^tl[t^2(t+2)-t(t+2)(t+1)+t(t+2)r]=0
Assim, y2 também é solução do homogêneo.

Passo 4

Para aplicar variação de parâmetros, escrevemos em forma padrão
y''+p(t)y'+q(t)y=g(t),
dividindo tudo por t^2:
y''-t+2ty'+t+2t^2y=2t
Aqui g(t)=2t.

Passo 5

Calculamos o Wronskiano de y1,y2:
W(t)= y1 & y2 y1' & y2' = t & t e^t 1 & e^t(t+1) =t cdot e^t(t+1)-1 cdot t e^t=t^2e^t

Passo 6

As fórmulas de variação de parâmetros dão
u1'=-y2,gW =-t e^tcdot2tt^2e^t=-2, u2'=y1,gW =tcdot2tt^2e^t=2e^-t
Integramos:
u1(t)=-2t, u2(t)=-2e^-t

Passo 7

A solução particular é
yp=u1y1+u2y2 =(-2t)cdot t+(-2e^-t)cdot(te^t) =-2t^2-2t=-2t(t+1)

Resposta

A solução particular da equação não-homogênea é
yp(t)=-2t(t+1)

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