Verifique que as funções dadas
e
satisfazem a equação homogênea associada, depois encontre uma solução particular da equação não-homogênea dada.
0 ,
Passo 1
O enunciado dá a equação
e fornece duas funções
e
que supostamente satisfazem a equação homogênea
Vamos primeiro verificar que elas são soluções do homogêneo e depois usar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular da equação não-homogênea.
Passo 2
Verificação de
:
Calculemos e
. Substituindo na parte homogênea,
Calculemos
Logo
satisfaz a homogênea.
Passo 3
Verificação de
:
Temos
Temos
Substituindo na homogênea,
Assim,
também é solução do homogêneo.
Passo 4
Para aplicar variação de parâmetros, escrevemos em forma padrão
dividindo tudo por
:
Aqui
.
Passo 5
Calculamos o Wronskiano de
:
Passo 6
As fórmulas de variação de parâmetros dão
Integramos:
Passo 7
A solução particular é
Resposta
A solução particular da equação não-homogênea é