Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade rho, quando:
Determine a massa de cada uma das seguintes lâminas:
D é o triângulo de vértices (0,0),(0,1) e (1,1) e a densidade é proporcional à distância do ponto à origem.
Calcule o centro de massa da região.

Passo 1

O enunciado pede a massa e o centro de massa de uma lâmina de densidade proporcional à distância à origem, ocupando o triângulo cujos vértices são (0,0), (0,1) e (1,1).
Conteúdo: integrais duplas para massa e coordenadas do centro de massa.

Passo 2

Identificamos a densidade
rho(x,y)=kraizx^2+y^2,
sendo k a constante de proporcionalidade, e a região
D=(x,y)mid 0<= x<= y<=1
A massa é
M=integral duplaDrho(x,y),dA =integraly=0^1integralx=0^ykraizx^2+y^2,dx,dy

Passo 3

Calculemos primeiro
I(y)=integral0^yraizx^2+y^2,dx
Use x=ytantheta, de 0 a pi/4, obtendo
I(y) =y^2integral0^pi/4sec^3theta,dtheta =tfracy^22l(raiz2+ln(raiz2+1)r)
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M =kintegral0^1I(y),dy =kintegral0^1y^22l(raiz2+ln(raiz2+1)r),dy =k2l(raiz2+ln(raiz2+1)r)13 =kl(raiz2+ln(raiz2+1)r)6

Passo 4

Para o momento em y (que dá bar x) calculamos
My =integral duplaDx,rho(x,y),dA =kintegral0^1integral0^yxraizx^2+y^2,dx,dy
Faça u=x^2+y^2, du=2x,dx, de u=y^2 a 2y^2, resultando
integral0^yxraizx^2+y^2,dx =13y^3l(2raiz2-1r)
e assim
My =kintegral0^1y^33(2raiz2-1),dy =k(2raiz2-1)3cdot14 =k(2raiz2-1)12

Passo 5

Para o momento em x (que dá bar y) usamos
Mx =integral duplaDy,rho(x,y),dA =kintegral0^1yl(I(y)r),dy =kintegral0^1ycdoty^22l(raiz2+ln(raiz2+1)r),dy =k(raiz2+ln(raiz2+1))2cdot14 =k(raiz2+ln(raiz2+1))8

Passo 6

As coordenadas do centro de massa são
bar x=MyM = k(2raiz2-1)12 k(raiz2+ln(raiz2+1))6 =2raiz2-12l(raiz2+ln(raiz2+1)r),
bar y=MxM = k(raiz2+ln(raiz2+1))8 k(raiz2+ln(raiz2+1))6 =34

Resposta

Massa:
M=kl(raiz2+ln(raiz2+1)r)6
Centro de massa:
(bar x,bar y) =gl(2raiz2-12l(raiz2+ln(raiz2+1)r),;34gr)

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