5.4C Encontre a solução geral de cada edo dada a seguir:
x y^prime+y=2 x+e^x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x,y' + y = 2x + e^x,
que é uma EDO de primeira ordem e tipo linear. Para isso, vamos colocá-la na forma padrão
y' + P(x),y = Q(x)
e usar o fator integrante.

Passo 2

Dividindo toda a equação por x (assumindo xneq0), obtemos a forma padrão
y' + 1x,y = 2 + e^xx

Passo 3

Identificamos P(x)=tfrac1x. O fator integrante é
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) =expl(integral tfrac1x,dxr) = e^ln|x| = x
(para x>0, tomamos mu(x)=x).

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x)=x, o lado esquerdo vira derivada de produto:
x,y' + y = ddxl(x,yr),
enquanto o lado direito fica xl(2 + tfrace^xxr)=2x + e^x. Logo
ddxl(x,yr) = 2x + e^x

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(x,yr),dx = integrall(2x + e^xr),dx Longrightarrow x,y = x^2 + e^x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Isolando y, obtemos a solução geral:
y = x^2 + e^x + Cx = x + e^xx + Cx

Resposta

y(x) = x + e^x + Cx,
com C constante arbitrária.

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