O que ele pede: determinar o valor de k para que a função seja contínua em x=2.
Informações relevantes fornecidas:
Para x<2 a função vale x^{2}-k.
Para x\ge 2 a função vale 3x+1.
O ponto onde queremos continuidade é x=2.
Devemos achar o(s) valor(es) de k que fazem f contínua em x=2.
Passo 2
O que significa "ser contínua em x=2" (explicação didática, passo a passo):
Uma função f é contínua em um ponto a quando as três quantidades abaixo existem e são iguais:
o limite à esquerda \lim_{x\to a^-} f(x);
o limite à direita \lim_{x\to a^+} f(x);
o valor da função no ponto f(a).
Em símbolos: f é contínua em a se\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=f(a).
No caso de uma função definida por partes, isso vira uma condição prática:
calcule a expressão da parte que vale para x<2 e faça x\to2 (isso dá o limite pela esquerda);
calcule a expressão da parte que vale para x>2 e faça x\to2 (isso dá o limite pela direita);
calcule f(2) usando a regra que vale em x=2 (aqui é a segunda, pois x\ge2);
imponha que o limite pela esquerda seja igual ao valor comum.
Vou aplicar exatamente isso agora.
Passo 3
Calcular o limite pela esquerda \lim_{x\to2^-} f(x):
Para x<2 vale f(x)=x^{2}-k. Como x^{2}-k é uma expressão polinomial menos uma constante em k (função contínua para todos x), o limite ao aproximar x de 2 pela esquerda é simplesmente o valor substituindo x=2:
Comentário didático: sempre que a expressão em uma das partes for um polinômio (ou qualquer função contínua), o limite ao se aproximar por qualquer lado é só substituir o ponto.
Passo 4
Calcular o limite pela direita \lim_{x\to2^+} f(x) e o valor f(2):
Para x\ge 2 vale f(x)=3x+1. Novamente é uma função polinomial (linear), contínua, então
Além disso, como a regra para x\ge2 inclui x=2, o valor da função no ponto é
f(2)=3\cdot 2+1=7.
Observação rápida: muitas vezes em peças a regra que define f(2) já garante que o valor da função é igual ao limite pela direita; a continuidade exige ainda que o limite pela esquerda coincida com esse número.
Passo 5
Impor a condição de continuidade e resolver para k:
Para f ser contínua em x=2 precisamos que o limite pela esquerda seja igual ao valor comum (que já vimos ser 7). Portanto exigimos
4-k=7.
Agora resolvemos essa equação para k. Subtraindo 4 de ambos os lados:
-k=3.
Multiplicando por -1:
k=-3.
Passo 6
Verificação rápida e comentário final (para ficar tranquilo):
Com k=-3, a parte esquerda fica x^{2}-(-3)=x^{2}+3. Em x\to2 isso dá 4+3=7.
A parte direita e o valor no ponto já eram 7.
Assim, limites lateral esquerdo, lateral direito e valor no ponto coincidem em 7, logo a função é contínua em x=2.
Parabéns: você mostrou explicitamente a lógica que deve ser feita numa prova — calcule limites laterais, calcule f(2) e iguale.