Verifique se as funções são linearmente independentes.
ln x ; ln (x^3)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções f1(x)=ln x e f2(x)=ln(x^3) são linearmente independentes. O conteúdo envolve independência linear em espaços de funções e propriedades de logaritmo.

Passo 2

Usamos a propriedade de logaritmo de potência: ln(x^3)=3,ln(x). Assim, ambas as funções são proporcionais a ln(x).

Passo 3

Formamos a combinação linear
a,ln(x)+b,ln(x^3)=0
para todo x>0. Substituindo ln(x^3)=3,ln(x) obtemos
(a+3b),ln(x)=0

Passo 4

Para que (a+3b),ln(x)=0 para todo x>0 basta ter a+3b=0. Escolhendo, por exemplo, a=-3 e b=1 temos combinação não trivial que anula as funções. Portanto elas são linearmente dependentes.

Resposta

As funções são linearmente dependentes, pois existe uma combinação não trivial (por exemplo -3ln(x)+1ln(x^3)=0) que as anula.

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