Calcule a corrente elétrica que circula em um circuito composto por uma fonte
, onde
é a frequência angular, conectada a um circuito em sêrie no qual a indutancia é
Henry e a resistência é
ohms. Determine corrente
se a corrente inicial for
.
Em todos os problemas escreva a EDO correspondente, identifique a EDO, verifique se
problema de valor inicial e identifique, resolva a EDO e solucione o problema. Explique cada passo. “Somente aqueles que desistiram de viver acham que os sonhos sào impossiveis” - Hyoga
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! Temos um circuito que inclui uma fonte de tensão com a expressão
, uma indutância
Henry e uma resistência
ohms, tudo em série. Queremos descobrir qual é a corrente
que está circulando no circuito, sabendo que inicialmente a corrente é
A. Para resolver isso, vamos usar conceitos de circuitos elétricos envolvendo indutância e resistência, e vamos precisar montar e resolver uma equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação diferencial que descreve o circuito. A lei de Kirchhoff para tensão em um circuito em série nos diz que a soma das quedas de tensão nos componentes é igual à tensão fornecida pela fonte. A queda de tensão na indutância é dada por
e na resistência por
. Então, temos:
Aqui,
é a fonte de tensão
.
Passo 3
Vamos substituir os valores conhecidos na equação. Sabemos que
H e
Ω, então:
Passo 4
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar
. Observamos que essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, onde a solução envolve encontrar uma função
que satisfaça a equação dada.
Passo 5
Para resolver a equação, vamos primeiro multiplicar todos os termos por 4 para simplificar:
Agora, identificamos que essa é uma equação diferencial linear da forma:
Onde
e
.
Passo 6
Vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Multiplicamos a equação toda pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 7
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Para simplificar a integral, podemos combinar os expoentes:
Então:
Integrando:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando a exponencial:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
A para encontrar a constante
:
Então,
Resposta
A corrente no circuito é dada por: