Calcule a corrente elétrica que circula em um circuito composto por uma fonte V=10 e^i-4 omega t, onde omega é a frequência angular, conectada a um circuito em sêrie no qual a indutancia é L=14 Henry e a resistência é R=16 ohms. Determine corrente i se a corrente inicial for i(0)=10 A.
L d id t+R i=E
Em todos os problemas escreva a EDO correspondente, identifique a EDO, verifique se problema de valor inicial e identifique, resolva a EDO e solucione o problema. Explique cada passo. “Somente aqueles que desistiram de viver acham que os sonhos sào impossiveis” - Hyoga

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! Temos um circuito que inclui uma fonte de tensão com a expressão V = 10 e^i - 4 omega t , uma indutância L = 14 Henry e uma resistência R = 16 ohms, tudo em série. Queremos descobrir qual é a corrente i(t) que está circulando no circuito, sabendo que inicialmente a corrente é i(0) = 10 A. Para resolver isso, vamos usar conceitos de circuitos elétricos envolvendo indutância e resistência, e vamos precisar montar e resolver uma equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação diferencial que descreve o circuito. A lei de Kirchhoff para tensão em um circuito em série nos diz que a soma das quedas de tensão nos componentes é igual à tensão fornecida pela fonte. A queda de tensão na indutância é dada por L didt e na resistência por R i . Então, temos:
L didt + R i = E
Aqui, E é a fonte de tensão V = 10 e^i - 4 omega t .

Passo 3

Vamos substituir os valores conhecidos na equação. Sabemos que L = 14 H e R = 16 Ω, então:
14 didt + 16 i = 10 e^i - 4 omega t

Passo 4

Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar i(t) . Observamos que essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, onde a solução envolve encontrar uma função i(t) que satisfaça a equação dada.

Passo 5

Para resolver a equação, vamos primeiro multiplicar todos os termos por 4 para simplificar:
didt + 64 i = 40 e^i - 4 omega t
Agora, identificamos que essa é uma equação diferencial linear da forma:
didt + P(t) i = Q(t)
Onde P(t) = 64 e Q(t) = 40 e^i - 4 omega t .

Passo 6

Vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^64 t
Multiplicamos a equação toda pelo fator integrante:
e^64 t didt + 64 e^64 t i = 40 e^64 t e^i - 4 omega t
Isso simplifica para:
ddt ( e^64 t i ) = 40 e^i - 4 omega t + 64 t

Passo 7

Agora, integramos ambos os lados em relação a t :
e^64 t i = integral 40 e^i - 4 omega t + 64 t dt + C
Para simplificar a integral, podemos combinar os expoentes:
e^i - 4 omega t + 64 t = e^i cdot e^(64 - 4 omega) t
Então:
e^64 t i = 40 e^i integral e^(64 - 4 omega) t dt + C
Integrando:
e^64 t i = 40 e^i64 - 4 omega e^(64 - 4 omega) t + C
Dividindo ambos os lados por e^64 t :
i(t) = 40 e^i64 - 4 omega e^(64 - 4 omega) t e^-64 t + C e^-64 t
Simplificando a exponencial:
i(t) = 40 e^i64 - 4 omega e^-4 omega t + C e^-64 t

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial i(0) = 10 A para encontrar a constante C :
10 = 40 e^i64 - 4 omega e^0 + C e^0
10 = 40 e^i64 - 4 omega + C
Então,
C = 10 - 40 e^i64 - 4 omega

Resposta

A corrente no circuito é dada por:
i(t) = 40 e^i64 - 4 omega e^-4 omega t + (10 - 40 e^i64 - 4 omega) e^-64 t

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