Verifique se as funções são linearmente independentes:
x ; x ln x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções
f1(x)=x e f2(x)=xln x
são linearmente independentes em um domínio onde ln x esteja definido (por exemplo, x>0).
Para isso, vamos usar a definição de independência linear: verificar se a combinação
c1f1(x)+c2f2(x)=0forall x
implica c1=c2=0.

Passo 2

Suponha que existam constantes ,c1,c2 tais que
c1x + c2,xln x = 0
para todo x>0. Podemos fatorar x pois em x>0 temos xneq0:
xl(c1 + c2ln xr)=0 Longrightarrow c1 + c2ln x = 0
para todo x>0.

Passo 3

A equação c1+c2ln x=0 deve valer para todo x>0.
Mas ln x não é função constante, variando com x.
Para que c1+c2ln x seja zero em todos os x, é necessário ter
c2=0 e então c1=0 ã
Logo, a única combinação linear que anula as duas funções é a combinação trivial.

Passo 4

Como alternativa, podemos calcular o Wronskiano
W(f1,f2)(x) =det x & xln x[6pt] dfracddx(x) & dfracddxl(xln xr) =det x & xln x[4pt] 1 & 1+ln x =x(1+ln x)-xln x =x
Como W(f1,f2)(x)=xneq0 para x>0, as funções são linearmente independentes nesse domínio.]

Resposta

As funções x e xln x são linearmente independentes em x>0.

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