Verifique se as funções são solução da equação de calor
f(x, t)=e^-eta^2 t cos (eta t)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,t)=e^-eta^2tcos(eta t)
é solução da equação de calor unidimensional homogênea, que, com coeficiente de difusão igual a 1, é
partial fpartial t=partial^2fpartial x^2

Passo 2

Como f(x,t) não depende de x (o único fator com x seria inexistente), temos
partial fpartial x=0 Longrightarrow partial^2fpartial x^2=0

Passo 3

Vamos calcular partial fpartial t usando a regra do produto:
partial fpartial t =partialpartial tl(e^-eta^2tr)cos(eta t) +e^-eta^2t,partialpartial tl(cos(eta t)r)
Sabendo que ddte^-eta^2t=-eta^2e^-eta^2t e ddtcos(eta t)=-etasin(eta t), segue
partial fpartial t =-eta^2e^-eta^2tcos(eta t) -eta,e^-eta^2tsin(eta t)

Passo 4

Para ser solução da equação de calor precisaríamos
partial fpartial t ;=;partial^2fpartial x^2,,
ou seja
-eta^2e^-eta^2tcos(eta t) -eta,e^-eta^2tsin(eta t) ;=;0
Mas o segundo termo -eta,e^-eta^2tsin(eta t) não é nulo em geral, logo
partial fpartial tneqpartial^2fpartial x^2.

Resposta

A função f(x,t)=e^-eta^2tcos(eta t) não é solução da equação de calor.

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