Verifique se as funções são solução da equação de Laplace
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é solução da equação de Laplace
Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
em
e
e impor a condição de Laplace.
Passo 2
Calculamos a derivada parcial de primeira ordem em
. Como
usamos a regra de potência em
, tratando
como constante:
Passo 3
Agora a segunda derivada em
. Aplicamos de novo a regra de potência:
Passo 4
De modo análogo, tratamos
como constante para derivar em
:
Passo 5
Somamos
e
:
Colocando em evidência
:
Passo 6
Para que
seja solução de Laplace, precisamos de
para todo
. Como
e
não são zero em domínio onde
, a única forma de anular o somatório é
isto é,
ou
.
Resposta
As funções
são harmônicas apenas para
ou
.