Verifique se as funções são solução da equação de Laplace
f(x, y)=(x y)^eta

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y) = (x,y)^eta
é solução da equação de Laplace
fxx + fyy = 0
Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem de f em x e y e impor a condição de Laplace.

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de primeira ordem em x. Como
f(x,y) = x^etay^eta,
usamos a regra de potência em x, tratando y^eta como constante:
fx = partialpartial xl(x^etay^etar) = eta,x^eta-1y^eta

Passo 3

Agora a segunda derivada em x. Aplicamos de novo a regra de potência:
fxx = partialpartial xl(eta,x^eta-1y^etar) = eta(eta-1),x^eta-2y^eta

Passo 4

De modo análogo, tratamos x^eta como constante para derivar em y:
fy = partialpartial yl(x^etay^etar) = eta,x^etay^eta-1,
fyy = partialpartial yl(eta,x^etay^eta-1r) = eta(eta-1),x^etay^eta-2

Passo 5

Somamos fxx e fyy:
fxx+fyy = eta(eta-1),x^eta-2y^eta + eta(eta-1),x^etay^eta-2
Colocando em evidência eta(eta-1)x^eta-2y^eta-2:
fxx+fyy = eta(eta-1),x^eta-2y^eta-2l(y^2 + x^2r)

Passo 6

Para que f seja solução de Laplace, precisamos de
fxx+fyy=0
para todo x,y. Como x^2+y^2 e x^eta-2y^eta-2 não são zero em domínio onde x,yneq0, a única forma de anular o somatório é
eta(eta-1)=0,
isto é, eta=0 ou eta=1.

Resposta

As funções (x y)^eta são harmônicas apenas para
eta=0 ou eta=1.

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