Verifique se as funções são solução da equação de Laplace
f(x, y)=x-y

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=x-y
é solução da equação de Laplace em duas variáveis, ou seja, se
partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = 0
Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de f.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
partial fpartial x =partialpartial x(x-y) =1,
partial fpartial y =partialpartial y(x-y) =-1

Passo 3

Agora obtemos as derivadas de segunda ordem a partir das anteriores:
partial^2 fpartial x^2 =partialpartial xgl(partial fpartial xgr) =partialpartial x(1) =0,
partial^2 fpartial y^2 =partialpartial ygl(partial fpartial ygr) =partialpartial y(-1) =0

Passo 4

Somando as segundas derivadas, temos
partial^2 fpartial x^2 +partial^2 fpartial y^2 =0+0 =0
Como a laplaciana de f é zero, concluímos que f é solução da equação de Laplace.

Resposta

A função f(x,y)=x-y satisfaz a equação de Laplace, pois
nabla^2 f = partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = 0.

Exercícios relacionados