Verifique se as funções seguintes têm mínimo ou máximo global (absoluto) no plano xy.
Passo 1
Enunciado e conteúdo: a gente precisa verificar se a função
tem algum mínimo ou máximo global no plano
. Vamos usar cálculo de extremos para funções de duas variáveis: gradiente, Hessiana e comportamento no infinito.
Passo 2
Encontrando o ponto crítico: calculamos o gradiente
Igualando a zero, vem
e
, logo o ponto crítico é
.
Passo 3
Analisando a Hessiana: montamos a matriz Hessiana
Os dois autovalores são negativos (
e
), então a Hessiana é negativa definida e o ponto crítico é um máximo local.
Passo 4
Verificando globalidade: como a função é uma parábola côncava para baixo (coeficientes negativos) e
quando
, esse máximo local em
é também máximo global. Não há mínimo global porque o valor de
não é limitado inferiormente.
Resposta
A função tem máximo global em
com valor
e não possui mínimo global.