Verifique se as funções seguintes têm mínimo ou máximo global (absoluto) no plano xy.
f(x, y)=-2 x^2-7 y^2

Passo 1

Enunciado e conteúdo: a gente precisa verificar se a função f(x,y)=-2x^2-7y^2 tem algum mínimo ou máximo global no plano xy. Vamos usar cálculo de extremos para funções de duas variáveis: gradiente, Hessiana e comportamento no infinito.

Passo 2

Encontrando o ponto crítico: calculamos o gradiente
nabla f(x,y)=(partial fpartial x,partial fpartial y)=(-4x,,-14y)
Igualando a zero, vem -4x=0 e -14y=0, logo o ponto crítico é (0,0).

Passo 3

Analisando a Hessiana: montamos a matriz Hessiana
Hf(x,y)=fxx & fxy fyx & fyy=-4 & 0 0 & -14
Os dois autovalores são negativos ( -4 e -14), então a Hessiana é negativa definida e o ponto crítico é um máximo local.

Passo 4

Verificando globalidade: como a função é uma parábola côncava para baixo (coeficientes negativos) e f(x,y)to -infty quando |(x,y)|toinfty, esse máximo local em (0,0) é também máximo global. Não há mínimo global porque o valor de f não é limitado inferiormente.

Resposta

A função tem máximo global em (0,0) com valor 0 e não possui mínimo global.

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