Use o método de multiplicadores de Lagrange e ache os valores de máximo e mínimo.
f(x, y)=x^3+y, x+y >= 1

Passo 1

Temos a função objetivo f(x,y)=x^3+y e a região viável definida por x+y>=1. Como partial fpartial y=1neq0, não há ponto crítico no interior da região; logo, quaisquer extremos só podem aparecer na fronteira x+y=1. Vamos tratar essa fronteira como a restrição de igualdade g(x,y)=x+y-1=0 e aplicar multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Formamos o Lagrangiano
L(x,y,lambda)=x^3+y-lambda,(x+y-1)
As condições de primeira ordem são
partial Lpartial x=3x^2-lambda=0,
partial Lpartial y=1-lambda=0,
e
partial Lpartiallambda=x+y-1=0

Passo 3

Da segunda equação vem lambda=1. Substituindo em 3x^2-lambda=0 temos
3x^2-1=0Longrightarrow x=pm1raiz3
E da restrição y=1-x obtemos os dois pontos candidatos:
(x1,y1)=l(1raiz3,1-1raiz3r),
(x2,y2)=l(-1raiz3,1+1raiz3r)

Passo 4

Calculamos f nesses pontos:
fl(tfrac1raiz3,1-tfrac1raiz3r)=l(tfrac1raiz3r)^3+1-tfrac1raiz3=1-23raiz3,
fl(-tfrac1raiz3,1+tfrac1raiz3r)=l(-tfrac1raiz3r)^3+1+tfrac1raiz3=1+23raiz3

Passo 5

Para classificar como mínimo ou máximo ao longo da fronteira, podemos ver f(x,1-x)=x^3+1-x. Então
d^2dx^2(x^3+1-x)=6x
Em x=1/raiz3 temos 6x>0, logo ponto de mínimo; em x=-1/raiz3 temos 6x<0, logo ponto de máximo.

Passo 6

Observação: globalmente em x+y>=1, f é não limitada (vai a +infty e -infty em extremos da região), portanto esses são extremos locais restritos à fronteira.

Resposta

Local mínimo em l(tfrac1raiz3,1-tfrac1raiz3r) com f=1-tfrac23raiz3. Local máximo em l(-tfrac1raiz3,1+tfrac1raiz3r) com f=1+tfrac23raiz3.

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