Use o método de multiplicadores de Lagrange e ache os valores de máximo e mínimo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores máximos e mínimos da função $ f(x, y, z) = xyz $, sujeita à restrição $ x^{2} + y^{2} + 4z^{2} = 12 $. Basicamente, vamos otimizar uma função com uma condição específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são multiplicadores de Lagrange. É uma técnica pra otimizar uma função $ f(x, y, z) $ com uma restrição $ g(x, y, z) = 0 $. A ideia é encontrar pontos onde o gradiente de $ f $ é proporcional ao gradiente de $ g $, ou seja:
Onde $ \lambda $ é o multiplicador de Lagrange.
Passo 3
Vamos identificar nossas funções:
Agora, vamos calcular os gradientes:
Passo 4
Segundo a condição dos multiplicadores de Lagrange:
Também temos a restrição:
Passo 5
Vamos tentar eliminar $ \lambda $. Da equação (1):
Da equação (2):
Igualando as duas expressões para $ \lambda $:
Se $ z \neq 0 $, podemos dividir ambos os lados por $ z $:
Passo 6
Vamos considerar $ y = x $ primeiro. Substituindo na equação (3):
Mas de (1):
Substituindo na equação $ x^{2} = 8\lambda z $:
Como $ y = x $, então $ y = \pm 2z $.
Passo 7
Vamos substituir $ x = 2z $ e $ y = 2z $ na restrição (4):
Portanto:
- Se $ z = 1 $, então $ x = 2 $ e $ y = 2 $
- Se $ z = -1 $, então $ x = -2 $ e $ y = -2 $
Passo 8
Agora, vamos calcular $ f(x, y, z) = xyz $ nesses pontos:
- Para $ (2, 2, 1) $:
- Para $ (-2, -2, -1) $:
Passo 9
Considerando a simetria, ao escolher $ y = -x $, vamos obter os mesmos valores absolutos para $ f $, mas com sinais invertidos. Ou seja, também teremos $ f = -4 $ e $ f = 4 $.
Resposta
Os valores máximos e mínimos de $ f(x, y, z) = xyz $ sujeitos à restrição $ x^{2} + y^{2} + 4z^{2} = 12 $ são:
- Máximo: 4
- Mínimo: -4