Use o método de multiplicadores de Lagrange e ache os valores de máximo e mínimo.
f(x, y, z)=x y z, x^2+y^2+4 z^2=12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores máximos e mínimos da função $ f(x, y, z) = xyz $, sujeita à restrição $ x^{2} + y^{2} + 4z^{2} = 12 $. Basicamente, vamos otimizar uma função com uma condição específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são multiplicadores de Lagrange. É uma técnica pra otimizar uma função $ f(x, y, z) $ com uma restrição $ g(x, y, z) = 0 $. A ideia é encontrar pontos onde o gradiente de $ f $ é proporcional ao gradiente de $ g $, ou seja:
f(x, y, z)
Onde $ \lambda $ é o multiplicador de Lagrange.

Passo 3

Vamos identificar nossas funções:
f(x, y, z) = xyz
g(x, y, z) = x^2 + y^2 + 4z^2 - 12 = 0
Agora, vamos calcular os gradientes:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) = (yz, xz, xy)

Passo 4

Segundo a condição dos multiplicadores de Lagrange:
yz = lambda cdot 2x (1)
xz = lambda cdot 2y (2)
xy = lambda cdot 8z (3)
Também temos a restrição:
x^2 + y^2 + 4z^2 = 12 (4)

Passo 5

Vamos tentar eliminar $ \lambda $. Da equação (1):
lambda
Da equação (2):
lambda = yz2x
Igualando as duas expressões para $ \lambda $:
lambda = xz2y
Se $ z \neq 0 $, podemos dividir ambos os lados por $ z $:
lambda

Passo 6

Vamos considerar $ y = x $ primeiro. Substituindo na equação (3):
y = x
Mas de (1):
x cdot x = lambda cdot 8z Rightarrow x^2 = 8lambda z
Substituindo na equação $ x^{2} = 8\lambda z $:
x cdot z = 2lambda x Rightarrow lambda = z2
Como $ y = x $, então $ y = \pm 2z $.

Passo 7

Vamos substituir $ x = 2z $ e $ y = 2z $ na restrição (4):
x = 2z
Portanto:
  • Se $ z = 1 $, então $ x = 2 $ e $ y = 2 $
  • Se $ z = -1 $, então $ x = -2 $ e $ y = -2 $

Passo 8

Agora, vamos calcular $ f(x, y, z) = xyz $ nesses pontos:
  • Para $ (2, 2, 1) $:
f(x, y, z) = xyz
  • Para $ (-2, -2, -1) $:
(2, 2, 1)

Passo 9

Considerando a simetria, ao escolher $ y = -x $, vamos obter os mesmos valores absolutos para $ f $, mas com sinais invertidos. Ou seja, também teremos $ f = -4 $ e $ f = 4 $.

Resposta

Os valores máximos e mínimos de $ f(x, y, z) = xyz $ sujeitos à restrição $ x^{2} + y^{2} + 4z^{2} = 12 $ são:
  • Máximo: 4
  • Mínimo: -4

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