Verifique se as funções seguintes têm mínimo ou máximo global (absoluto) no plano xy.
f(x, y)=x^2-2 y^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f(x,y)=x^2-2y^2 tem mínimo ou máximo global no plano (x,y). O tema envolve encontrar pontos críticos usando gradiente e classificar esses pontos via matriz Hessiana para ver se são extremos absolutos.

Passo 2

Calculemos o gradiente de f e identifiquemos pontos críticos. Temos
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,partial fpartial yr)=(2x,-4y)
Para pontos críticos impomos 2x=0 e -4y=0, ou seja, x=0 e y=0. Logo, o único ponto crítico é (0,0).

Passo 3

Agora montamos a matriz Hessiana de f, que reúne as segundas derivadas parciais:
H f(x,y)=fxx&fxyfyx&fyy=2&00&-4
Os autovalores dessa matriz são 2>0 e -4<0. Como há sinais opostos, a Hessiana é indefinida, indicando que (0,0) é ponto de sela.

Passo 4

Um ponto de sela não é nem mínimo nem máximo local, muito menos global. Além disso, olhando em direções apropriadas vemos que f cresce sem limite quando xtopminfty,y=0 e decresce sem limite quando ytopminfty,x=0. Portanto não há extremum absoluto no plano.

Resposta

A função não possui nem mínimo nem máximo global; ela apresenta apenas um ponto de sela em (0,0).

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