Verifique se as funções seguintes têm mínimo ou máximo global (absoluto) no plano xy.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
tem mínimo ou máximo global no plano
. O tema envolve encontrar pontos críticos usando gradiente e classificar esses pontos via matriz Hessiana para ver se são extremos absolutos.
Passo 2
Calculemos o gradiente de
e identifiquemos pontos críticos. Temos
Para pontos críticos impomos
e
, ou seja,
e
. Logo, o único ponto crítico é
.
Passo 3
Agora montamos a matriz Hessiana de
, que reúne as segundas derivadas parciais:
Os autovalores dessa matriz são
e
. Como há sinais opostos, a Hessiana é indefinida, indicando que
é ponto de sela.
Passo 4
Um ponto de sela não é nem mínimo nem máximo local, muito menos global. Além disso, olhando em direções apropriadas vemos que
cresce sem limite quando
e decresce sem limite quando
. Portanto não há extremum absoluto no plano.
Resposta
A função não possui nem mínimo nem máximo global; ela apresenta apenas um ponto de sela em (0,0).