Use o método de multiplicadores de Lagrange e ache os valores de máximo e mínimo.
f(x, y)=x^2+y, x^2-y^2=1

Passo 1

O enunciado pede para achar extremos de f(x,y)=x^2+y sob a restrição x2−y2=1 usando multiplicadores de Lagrange. O conteúdo envolve criar a Lagrangiana, tirar as condições de primeira ordem (estacionaridade) e resolver o sistema junto com a restrição.

Passo 2

Definimos a Lagrangiana:
L(x,y,lambda)=x^2+y-lambdal(x^2-y^2-1r)
Escrevemos as condições de estacionaridade e a restrição:
partialLpartial x=2x-2lambda x=0,
partialLpartial y=1+2lambda y=0,
$$
x2-y2=1.$$

Passo 3

Da primeira equação temos 2x(1−λ)=0. Como x=0 não satisfaz a restrição, concluímos λ=1. Substituindo em 1+2λy=0 dá y=−\tfrac12. Usando na restrição: x2−(−\tfrac12)2=1 ⇒ x^2=5/4 ⇒ x=±\tfrac{\sqrt5}{2}.

Passo 4

Calculamos f nos pontos críticos:
$$
f\bigl(\pm\tfrac{\sqrt5}{2},-\tfrac12\bigr)=\Bigl(\tfrac{\sqrt5}{2}\Bigr)^2-\tfrac12=\tfrac54-\tfrac24=\tfrac34.$$
Para |x|→∞, y≈±√(x^2−1) faz f=x^2+y→+∞, mostrando que não há valor máximo, e o valor obtido 3/4 é o mínimo global sobre a curva x2−y2=1.

Resposta

O valor mínimo de f sob a restrição é 3/4, atingido nos pontos (x,y)=l(pmtfracraiz52,-tfrac12r). Não existe valor máximo, pois f→+∞ ao longo da curva.

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