Use o método de multiplicadores de Lagrange e ache os valores de máximo e mínimo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o método dos multiplicadores de Lagrange. A gente tem a função $ f(x, y) = x + y $ que queremos maximizar e minimizar, e a restrição é que $ x^2 + y^2 = 1 $. Basicamente, precisamos encontrar os pontos onde $ f(x, y) $ atinge seus valores máximos e mínimos dentro do círculo unitário definido pela restrição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o método dos multiplicadores de Lagrange. A ideia é que, no ponto de máximo ou mínimo, o gradiente da função $ f $ deve ser paralelo ao gradiente da restrição $ g(x, y) = x^2 + y^2 - 1 $. Isso nos dá o sistema de equações:
Onde $ \lambda $ é o multiplicador de Lagrange. Vamos calcular os gradientes:
Passo 3
Agora, aplicamos a condição $ \nabla f = \lambda \nabla g $:
Além disso, temos a restrição:
Vamos resolver essas equações. Das equações (1) e (2), podemos igualar os valores de $ \lambda $:
Passo 4
Sabendo que $ x = y $, substituímos na restrição (3):
Como $ x = y $, então $ y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Passo 5
Agora, vamos calcular os valores de $ f(x, y) $ nesses pontos:
Para $ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $ e $ y = \frac{\sqrt{2}}{2} $:
Para $ x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ e $ y = -\frac{\sqrt{2}}{2} $:
Resposta
Os valores máximos e mínimos da função $ f(x, y) = x + y $ sujeitos à restrição $ x^2 + y^2 = 1 $ são:
- Máximo: $ \sqrt{2} $ no ponto $ \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) $
- Mínimo: $ -\sqrt{2} $ no ponto $ \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) $