Verifique que fx y=fy x no caso abaixo.
f(x, y)=cos y+y sen x

Passo 1

O enunciado pede pra gente verificar que as derivadas parciais mistas de segunda ordem de f(x,y)=cos y + y sen x satisfazem f_{xy}=f_{yx}. O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais e o teorema de Clairaut que garante igualdade desde que as derivadas sejam contínuas. Vamos precisar das definições de f_x, f_y, e depois derivar novamente.

Passo 2

Primeiro achamos f_x tomando a derivada de f em relação a x, tratando y como constante. A derivada de cos y em relação a x é zero e a de y sen x é y·cos x. Logo:
fx(x,y)=ycos x
Em seguida derivamos f_x em relação a y para obter f_{xy}. Como cos x independe de y, temos:
fxy(x,y)=cos x

Passo 3

Agora calculamos f_y derivando f em relação a y, tratando x como constante. A derivada de cos y é -sen y e a de y sen x é sen x. Assim:
fy(x,y)=-sin y + sin x
Derivando f_y em relação a x para obter f_{yx}, o termo -sen y some (é constante em x) e a derivada de sen x é cos x. Então:
fyx(x,y)=cos x

Passo 4

Comparando f_{xy}(x,y) e f_{yx}(x,y), vemos que ambas são iguais a cos x. Portanto, f_{xy}=f_{yx}, como queríamos verificar.

Resposta

fxy(x,y)=fyx(x,y)=cos x, logo as derivadas parciais mistas são iguais.

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