Verifique que
no caso abaixo.
Passo 1
O enunciado pede pra gente verificar que as derivadas parciais mistas de segunda ordem de f(x,y)=cos y + y sen x satisfazem f_{xy}=f_{yx}. O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais e o teorema de Clairaut que garante igualdade desde que as derivadas sejam contínuas. Vamos precisar das definições de f_x, f_y, e depois derivar novamente.
Passo 2
Primeiro achamos f_x tomando a derivada de f em relação a x, tratando y como constante. A derivada de cos y em relação a x é zero e a de y sen x é y·cos x. Logo:
Em seguida derivamos f_x em relação a y para obter f_{xy}. Como cos x independe de y, temos:
Passo 3
Agora calculamos f_y derivando f em relação a y, tratando x como constante. A derivada de cos y é -sen y e a de y sen x é sen x. Assim:
Derivando f_y em relação a x para obter f_{yx}, o termo -sen y some (é constante em x) e a derivada de sen x é cos x. Então:
Passo 4
Comparando f_{xy}(x,y) e f_{yx}(x,y), vemos que ambas são iguais a cos x. Portanto, f_{xy}=f_{yx}, como queríamos verificar.