Verifique as hipóteses do Teorema de Rolle são satisfeitas pela função f no intervalo I. Em
f(x)=x^{2}-6 x+8 e I=[2,4]

Passo 1

Queremos verificar as três hipóteses do Teorema de Rolle para a função
f(x)=x^{2}-6x+8
no intervalo I=[2,4]. Essas hipóteses são:
  1. f é contínua em [2,4].
  2. f é derivável em (2,4).
  3. f(2)=f(4).

Passo 2

Funções polinomiais são contínuas em todo \mathbb{R}. Logo, f é contínua em [2,4].
Funções polinomiais são deriváveis em todo \mathbb{R}. Logo, f é derivável em (2,4).

Passo 3

Calculamos os valores nos extremos:
f(2)=2^{2}-6\cdot2+8=4-12+8=0,
f(4)=4^{2}-6\cdot4+8=16-24+8=0.
Portanto, f(2)=f(4)=0.

Passo 4

Como f é contínua em [2,4], derivável em (2,4) e f(2)=f(4), as hipóteses do Teorema de Rolle estão todas satisfeitas.

Resposta

As hipóteses do Teorema de Rolle são satisfeitas pela função f em [2,4].

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