Verifique que as hipóteses do Teorema de Lagrange ou Teorema do Valor Médio são satisfafeit pela função f no intervalo I. Em seguida, obtenha um c \in I que satisfaça a tese do teorema.
f(x)=x^{2}+2 x-1 e I=[0,1]

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o Teorema de Lagrange (Teorema do Valor Médio) à função
f(x)=x^{2}+2x-1
no intervalo
I=[0,1]
e encontrar um c\in I tal que
f'\text{(c)}=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}.

Passo 2

Como f é um polinômio, ela é contínua em [0,1] e diferenciável em (0,1). Portanto, todas as hipóteses do Teorema de Lagrange estão satisfeitas.

Passo 3

Calculamos a taxa média de variação de f entre 0 e 1:
\frac{f(1)-f(0)}{1-0} =\frac{\bigl(1^{2}+2\cdot1-1\bigr)-\bigl(0^{2}+2\cdot0-1\bigr)}{1} =\frac{2-(-1)}{1} =3.

Passo 4

A derivada de f é
f'(x)=2x+2.
Pelo Teorema do Valor Médio, existe c\in(0,1) tal que
f'\text{(c)}=3.
Logo,
2c+2=3 \quad\Longrightarrow\quad 2c=1 \quad\Longrightarrow\quad c=\frac12.

Resposta

c=\tfrac12

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