Verifique que as hipóteses do Teorema de Lagrange ou Teorema do Valor Médio são satisfafeit pela função f no intervalo I. Em seguida, obtenha um c \in I que satisfaça a tese do teorema.
f(x)=\sqrt[3]{x^{2}} e I=[0,1]

Passo 1

O enunciado pede para verificar as hipóteses do Teorema do Valor Médio (continuidade em [0,1] e diferenciabilidade em (0,1)) para
f(x)=\sqrt[3]{x^2}=x^{2/3}
e, em seguida, encontrar c\in(0,1) tal que
f'\text{(c)}=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}\,.

Passo 2

A função f(x)=x^{2/3} é composta de potências e raízes, que são contínuas em todo \mathbb{R}, logo f é contínua em [0,1]. Para x>0 temos
f'(x)=\frac{2}{3}x^{-1/3},
que existe e é finito para todo x\in(0,1). Assim, f é diferenciável em (0,1).

Passo 3

Pelo Teorema do Valor Médio, existe c\in(0,1) com
f'\text{(c)}=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}.
Como f(1)=1^{2/3}=1 e f(0)=0, o quociente é
\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=1.

Passo 4

Basta resolver
\frac{2}{3}c^{-1/3}=1 \quad\Longrightarrow\quad c^{-1/3}=\frac{3}{2} \quad\Longrightarrow\quad c^{1/3}=\frac{2}{3} \quad\Longrightarrow\quad c=\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{3}=\frac{8}{27}.

Resposta

\displaystyle c=\frac{8}{27}.

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