Verifique a identidade
\mathbf{A} \times(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A})=\frac{1}{2} \boldsymbol{\nabla}\left(A^{2}\right)-(\mathbf{A} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{A} .

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade
\mathbf{A}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A})=\frac{1}{2}\boldsymbol{\nabla}\left(A^{2}\right)-(\mathbf{A}\cdot\boldsymbol{\nabla})\mathbf{A}.
Informações dadas e coisas que vamos usar diretamente do enunciado:
  • \mathbf{A}=\mathbf{A}(\mathbf{r}) é um campo vetorial suficientemente suave (tem derivadas parciais contínuas).
  • A^{2} significa o produto escalar \mathbf{A}\cdot\mathbf{A}, isto é, A^{2}=A_{j}A_{j} (soma sobre índice repetido).
  • A expressão envolve operações vetoriais padrão: produto vetorial \times, rotacional \boldsymbol{\nabla}\times, gradiente \boldsymbol{\nabla} e o derivador direcional (\mathbf{A}\cdot\boldsymbol{\nabla}).
    Nada mais será assumido implicitamente além disso; a tarefa é demonstrar que os dois lados coincidem para componentes quaisquer.

Passo 2

Vou trabalhar componente a componente usando notação de índices (convenção de Einstein: índices repetidos são somados). Definições e notação que usarei:
  • Denoto as componentes de \mathbf{A} por A_{i} com i=1,2,3.
  • O operador gradiente tem componentes \partial_{i}=\dfrac{\partial}{\partial x_{i}}.
  • O rotacional tem componentes
(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A})_{k}=\varepsilon_{k\ell m}\partial_{\ell}A_{m},
onde \varepsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita.
  • O produto vetorial tem componentes
(\mathbf{X}\times\mathbf{Y})_{i}=\varepsilon_{ijk}X_{j}Y_{k}.
  • O produto escalar A^{2} é A^{2}=A_{j}A_{j}.
    Também lembro a identidade útil entre \varepsilon e o delta de Kronecker:
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}.

Passo 3

Calculo as componentes do membro esquerdo \mathbf{A}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A}). Pelo esquema de componentes:
\big(\mathbf{A}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A})\big)_{i} =\varepsilon_{i j k}A_{j}(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A})_{k}.
Substituo a expressão do rotacional:
\big(\mathbf{A}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A})\big)_{i} =\varepsilon_{i j k}A_{j}\big(\varepsilon_{k\ell m}\partial_{\ell}A_{m}\big).

Passo 4

Uso a identidade do produto de dois símbolos de Levi-Civita:
\varepsilon_{i j k}\varepsilon_{k\ell m}=\delta_{i\ell}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{j\ell}.
Aplicando isso à expressão do Passo 3:
\big(\mathbf{A}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A})\big)_{i} =(\delta_{i\ell}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{j\ell})\,A_{j}\,\partial_{\ell}A_{m}.

Passo 5

Simplifico os termos usando as propriedades do delta de Kronecker ( \delta_{ab}X_{b}=X_{a}). O primeiro termo dá:
\delta_{i\ell}\delta_{jm}\,A_{j}\,\partial_{\ell}A_{m}=A_{m}\,\partial_{i}A_{m}.
O segundo termo dá:
\delta_{im}\delta_{j\ell}\,A_{j}\,\partial_{\ell}A_{m}=A_{\ell}\,\partial_{\ell}A_{i}=(\mathbf{A}\cdot\boldsymbol{\nabla})A_{i}.
Como havia diferença entre os dois termos (primeiro menos segundo), obtenho
\big(\mathbf{A}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A})\big)_{i} = A_{m}\,\partial_{i}A_{m} - A_{\ell}\,\partial_{\ell}A_{i}.

Passo 6

Transformo o termo A_{m}\partial_{i}A_{m} em uma derivada do escalar A^{2}=A_{j}A_{j}. Pela regra do produto, para A_{m}A_{m} temos
\partial_{i}(A_{m}A_{m})=2A_{m}\partial_{i}A_{m}.
Logo
A_{m}\partial_{i}A_{m}=\frac{1}{2}\partial_{i}(A_{m}A_{m})=\frac{1}{2}\partial_{i}(A^{2}).
Substituo isso na expressão do Passo 5:
\big(\mathbf{A}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A})\big)_{i} =\frac{1}{2}\partial_{i}(A^{2}) - (\mathbf{A}\cdot\boldsymbol{\nabla})A_{i}.

Passo 7

A relação acima vale para cada componente i. Escrevendo de volta em notação vetorial, obtemos exatamente a identidade pedida:
\mathbf{A}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A}) =\frac{1}{2}\boldsymbol{\nabla}\big(A^{2}\big)-(\mathbf{A}\cdot\boldsymbol{\nabla})\mathbf{A}.
Isso conclui a verificação componente a componente.

Resposta

\mathbf{A}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A})=\frac{1}{2}\boldsymbol{\nabla}\left(A^{2}\right)-(\mathbf{A}\cdot\boldsymbol{\nabla})\mathbf{A}

Exercícios relacionados