Verifique a identidade
Passo 1
O enunciado pede para verificar a identidade
Informações dadas e coisas que vamos usar diretamente do enunciado:
-
é um campo vetorial suficientemente suave (tem derivadas parciais contínuas). -
significa o produto escalar , isto é, (soma sobre índice repetido). - A expressão envolve operações vetoriais padrão: produto vetorial
, rotacional , gradiente e o derivador direcional .
Nada mais será assumido implicitamente além disso; a tarefa é demonstrar que os dois lados coincidem para componentes quaisquer.
Passo 2
Vou trabalhar componente a componente usando notação de índices (convenção de Einstein: índices repetidos são somados). Definições e notação que usarei:
- Denoto as componentes de
por com . - O operador gradiente tem componentes
. - O rotacional tem componentes
onde
é o símbolo de Levi-Civita.
- O produto vetorial tem componentes
- O produto escalar
é .
Também lembro a identidade útil entree o delta de Kronecker:
Passo 3
Calculo as componentes do membro esquerdo
. Pelo esquema de componentes:
Substituo a expressão do rotacional:
Passo 4
Uso a identidade do produto de dois símbolos de Levi-Civita:
Aplicando isso à expressão do Passo 3:
Passo 5
Simplifico os termos usando as propriedades do delta de Kronecker (
). O primeiro termo dá:
O segundo termo dá:
Como havia diferença entre os dois termos (primeiro menos segundo), obtenho
Passo 6
Transformo o termo
em uma derivada do escalar
. Pela regra do produto, para
temos
Logo
Substituo isso na expressão do Passo 5:
Passo 7
A relação acima vale para cada componente
. Escrevendo de volta em notação vetorial, obtemos exatamente a identidade pedida:
Isso conclui a verificação componente a componente.