Questão 20) Um tubo de canalização de córrego é completamente preenchido por água (massa específica 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) sendo que a velocidade de escoamento da água neste tubo é de 2,1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O tubo desce gradualmente até chegar a um ponto 3,2 \mathrm{~m} abaixo da posição inicial. Depois da descida, o diâmetro do tubo passa a ser 1,9 vezes maior. A pressão absoluta da água no ponto mais alto é 2,3 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}. Qual é o valor da pressão absoluta da água no tubo após a descida em unidades de Pa?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado abaixo:
  • Dados fornecidos:
    • Massa específica da água: \rho = 10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
    • Velocidade antes da descida: v_{1} = 2{,}1\\ \mathrm{m/s}.
    • Queda vertical entre os pontos: \Delta z = 3{,}2\\ \mathrm{m} (o tubo fica 3{,}2\\ \mathrm{m} abaixo da posição inicial).
    • Após a descida o diâmetro do tubo fica 1{,}9 vezes maior (ou seja, d_{2} = 1{,}9\,d_{1}).
    • Pressão absoluta no ponto mais alto: p_{1} = 2{,}3\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Objetivo:
    • Calcular a pressão absoluta da água no tubo após a descida, isto é, encontrar p_{2} em Pa.

Passo 2

Conservação de massa (continuidade) para escoamento incompressível relaciona as velocidades antes e depois pela razão das áreas de seção transversal. A área de um tubo circular é proporcional ao quadrado do diâmetro, então:
A_{1}\propto d_{1}^{2},\qquad A_{2}\propto d_{2}^{2}=(1{,}9)^{2}d_{1}^{2}.
A conservação da vazão dá
A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}\quad\Rightarrow\quad v_{2}=v_{1}\frac{A_{1}}{A_{2}}=v_{1}\frac{1}{(1{,}9)^{2}}.
Agora calculamos v_{2}:
(1{,}9)^{2}=3{,}61,
v_{2}=\frac{2{,}1}{3{,}61}\\ \mathrm{m/s}\approx 0{,}58172\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Usamos a equação de Bernoulli (escoamento estacionário, incompressível e sem perdas por atrito) entre o ponto 1 (mais alto) e o ponto 2 (depois da descida):
p_{1}+\tfrac{1}{2}\rho v_{1}^{2}+\rho g z_{1}=p_{2}+\tfrac{1}{2}\rho v_{2}^{2}+\rho g z_{2}.
Subtraindo os termos apropriados e usando \Delta z=z_{1}-z_{2}=3{,}2\\ \mathrm{m}, obtemos a expressão para p_{2}:
p_{2}=p_{1}+\tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\bigr)+\rho g\,\Delta z.
Aqui:
  • \tfrac{1}{2}\rho(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}) é a variação de pressão associada à mudança de energia cinética por unidade de volume.
  • \rho g\,\Delta z é o acréscimo de pressão devido à diferença de altitude (pressão hidrostática).

Passo 4

Calculamos o termo cinético \tfrac{1}{2}\rho(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}).
v_{1}^{2}=(2{,}1)^{2}=4{,}41\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}},
v_{2}^{2}\approx(0{,}58172)^{2}\approx 0{,}338395\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}},
v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\approx 4{,}41-0{,}338395=4{,}071605\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}},
\tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}\cdot 1000\cdot 4{,}071605\\ \mathrm{Pa}\approx 2035{,}80\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Calculamos o termo hidrostático \rho g\,\Delta z:
\rho g\,\Delta z = 1000\cdot 9{,}81\cdot 3{,}2\\ \mathrm{Pa}=31392\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Agora somamos tudo para obter p_{2}:
p_{2}=p_{1}+\tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\bigr)+\rho g\,\Delta z
p_{2}=2{,}3\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}+2035{,}80\\ \mathrm{Pa}+31392\\ \mathrm{Pa}
p_{2}\approx 230000+2035{,}80+31392=263427{,}80\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando de forma conveniente (dados iniciais com poucas cifras significativas), obtemos aproximadamente 2{,}63\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

2,63\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}

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