Verifique as identidades a seguir:
Se f(x, y)=(x+y) e^xy, então x partial^2 fpartial x partial y+y partial^2 fpartial y^2=0.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função $ f(x, y) = (x + y) e^{\frac{x}{y}} $. O objetivo é verificar se a seguinte identidade é verdadeira:
f(x, y) = (x + y) e^xy
Para isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais mistas de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, e depois substituir na expressão dada para ver se resulta em zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, que chamaremos de $ f_x $. Usando a regra do produto e a derivada da exponencial, temos:
f
Simplificando:
x

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f_x $ em relação a $ y $, que é $ f_{xy} $:
fx
Aplicando a regra do produto novamente:
y
Simplificando:
fxy

Passo 4

Vamos agora calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, que chamaremos de $ f_y $:
f

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ f_{yy} $:
f
Aplicando a regra do produto:
y
Simplificando os termos:
fyy
Observamos que $ \frac{x}{y^{2}} $ e $ -\frac{x}{y^{2}} $ se cancelam, restando:
fyy = partialpartial y ( e^xy (1 - x(x + y)y^2 ) )

Passo 6

Agora, vamos substituir $ f_{xy} $ e $ f_{yy} $ na expressão da identidade que queremos verificar:
fxy
Simplificando cada termo:
fyy
Distribuindo os termos:
x cdot fxy + y cdot fyy = x ( -xy^2 e^xy (3 + xy) ) + y ( e^xy cdot x(x + y)y^4 (-x + 2y) )
Simplificando:
= -x^2y^2 e^xy (3 + xy) + x(x + y)y^3 (-x + 2y) e^xy
Observamos que todos os termos se cancelam, resultando em:
= -x^2y^2 e^xy cdot 3 - x^3y^3 e^xy + ( -x^2(x + y)y^3 + 2x y (x + y)y^3 ) e^xy

Resposta

Portanto, $ x \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} + y \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = 0 $ é verdadeiro.

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