Verifique as identidades a seguir:
Se
, então
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função $ f(x, y) = (x + y) e^{\frac{x}{y}} $. O objetivo é verificar se a seguinte identidade é verdadeira:
Para isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais mistas de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, e depois substituir na expressão dada para ver se resulta em zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, que chamaremos de $ f_x $. Usando a regra do produto e a derivada da exponencial, temos:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f_x $ em relação a $ y $, que é $ f_{xy} $:
Aplicando a regra do produto novamente:
Simplificando:
Passo 4
Vamos agora calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, que chamaremos de $ f_y $:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ f_{yy} $:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando os termos:
Observamos que $ \frac{x}{y^{2}} $ e $ -\frac{x}{y^{2}} $ se cancelam, restando:
Passo 6
Agora, vamos substituir $ f_{xy} $ e $ f_{yy} $ na expressão da identidade que queremos verificar:
Simplificando cada termo:
Distribuindo os termos:
Simplificando:
Observamos que todos os termos se cancelam, resultando em:
Resposta
Portanto, $ x \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} + y \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = 0 $ é verdadeiro.