Exercício 2. Para quais valores de
cada série é convergente?
Passo 1
O enunciado pede pra gente descobrir para quais valores reais de
a série
converge. O conteúdo principal aqui é o teste de convergência de séries alternadas (critérios de Leibniz) e vamos precisar verificar o sinal, o decrescimento e o limite dos termos.
Passo 2
Primeiro, é preciso que cada termo
esteja bem definido. Como o denominador não pode ser zero para nenhum
, exigimos
Em particular, para
temos
, ou seja,
.
Passo 3
Supondo então
, analisamos a parte positiva dos termos:
Para aplicar o teste de Leibniz precisamos que
seja decrescente e que
. De fato, para
e
crescente,
e
Passo 4
Como
,
é decrescente e
, o critério de Leibniz garante convergência condicional de
sempre que
. Para
a série nem chega a estar bem definida (o primeiro termo já falha) ou não satisfaz as hipóteses do teste, logo não converge.
Resposta
A série converge (condicionalmente) se, e só se,
.