Exercício 2. Para quais valores de p cada série é convergente?
sumn=1^infty (-1)^n-1n+p

Passo 1

O enunciado pede pra gente descobrir para quais valores reais de p a série sumn=1^infty(-1)^n-1n+p converge. O conteúdo principal aqui é o teste de convergência de séries alternadas (critérios de Leibniz) e vamos precisar verificar o sinal, o decrescimento e o limite dos termos.

Passo 2

Primeiro, é preciso que cada termo an=tfrac(-1)^n-1n+p esteja bem definido. Como o denominador não pode ser zero para nenhum n>=1, exigimos
n+p>0forall n>=1
Em particular, para n=1 temos 1+p>0, ou seja, p>-1.

Passo 3

Supondo então p>-1, analisamos a parte positiva dos termos:
bn=1n+p>0
Para aplicar o teste de Leibniz precisamos que (bn) seja decrescente e que limntoinftybn=0. De fato, para p>-1 e n crescente,
bn+1=1n+1+p<1n+p=bn
e
limntoinftybn=limntoinfty1n+p=0

Passo 4

Como bn>0, bn é decrescente e bnto0, o critério de Leibniz garante convergência condicional de sum(-1)^n-1bn sempre que p>-1. Para p<=-1 a série nem chega a estar bem definida (o primeiro termo já falha) ou não satisfaz as hipóteses do teste, logo não converge.

Resposta

A série converge (condicionalmente) se, e só se, p>-1.

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