A função é contínua em f(x, y)=llx^4-(y-1)^4x^2(y-1)^2 & , se (x, y) neq(0,1) 0 & , se (x, y)=(0,1)? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define a função f(x,y) de forma peça a peça e pergunta se ela é contínua no ponto (0,1). O conteúdo aqui é limite de função de várias variáveis e condição de continuidade (limite deve existir e ser igual a f(0,1)).

Passo 2

Para (x,y)≠(0,1) simplificamos a expressão. Usando fatoração ou divisão de termos, obtemos
f(x,y)=x^4-(y-1)^4x^2(y-1)^2=x^2(y-1)^2-(y-1)^2x^2

Passo 3

Agora testamos o limite ao longo de diferentes caminhos. Escolhendo y−1=kx, temos (y-1)2=k2x^2 e
f(x,y)=x^2k^2x^2-k^2x^2x^2=1k^2-k^2, que depende de k, ou seja, varia conforme o caminho.

Passo 4

Como o valor do limite não é único (depende de k), o limite quando (x,y)→(0,1) não existe. Logo, não é igual a f(0,1)=0, e f não é contínua em (0,1).

Resposta

Não, f não é contínua em (0,1) pois o limite
não existe (depende do caminho) e, portanto, não coincide com f(0,1).

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