A função é contínua em
? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado define a função f(x,y) de forma peça a peça e pergunta se ela é contínua no ponto (0,1). O conteúdo aqui é limite de função de várias variáveis e condição de continuidade (limite deve existir e ser igual a f(0,1)).
Passo 2
Para (x,y)≠(0,1) simplificamos a expressão. Usando fatoração ou divisão de termos, obtemos
Passo 3
Agora testamos o limite ao longo de diferentes caminhos. Escolhendo y−1=kx, temos (y-1)2=k2x^2 e
Passo 4
Como o valor do limite não é único (depende de k), o limite quando (x,y)→(0,1) não existe. Logo, não é igual a f(0,1)=0, e f não é contínua em (0,1).
Resposta
Não, f não é contínua em (0,1) pois o limite
não existe (depende do caminho) e, portanto, não coincide com f(0,1).
não existe (depende do caminho) e, portanto, não coincide com f(0,1).