Calcule a integral e verifique sua resposta por diferenciação.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral e verificar a resposta por diferenciação. As informações dadas são:
- A integral a calcular é
. - É necessário apresentar uma primitiva (antiderivada) e então verificar que sua derivada é o integrando.
Passo 2
Escolha do método e regras básicas usadas (explicação didática).
- Aqui o integrando é um produto de polinômios. A maneira mais simples é primeiro expandir o produto para obter uma soma de potências de
, porque integrar somas termo a termo é direto. - Propriedade linear da integral: para quaisquer funções
e e constantes ,
Isto permite integrar cada termo separadamente.
- Regra do poder (power rule) para integrar polinômios: para
,
onde
é a constante de integração. Aqui
é o expoente de
.
Passo 3
Expandir o produto
passo a passo (distributiva).
- Multiplicar termo a termo:
- Somando os termos obtém-se o polinômio integrando:
Passo 4
Aplicar a linearidade e integrar termo a termo usando a regra do poder.
Vamos integrar cada termo separadamente:
Vamos integrar cada termo separadamente:
- Para o termo constante
:
pois
para constante
.
- Para o termo
:
Aqui usei
.
- Para o termo
:
- Para o termo
:
- Somando todas as primitivas (absorvendo
numa única constante ) obtemos:
Passo 5
Verificação por diferenciação (testando que a derivada da primitiva é o integrando).
- Seja
. Usamos a regra do poder para derivar: e derivada de constante é zero. - Derivando termo a termo:
- Somando as derivadas:
- Observa-se que este
coincide exatamente com o integrando expandido, isto é,
Portanto a primitiva encontrada está correta.