Calcule a integral e verifique sua resposta por diferenciação.
int(4+4 x)\left(6-3 x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral e verificar a resposta por diferenciação. As informações dadas são:
  • A integral a calcular é \int(4+4 x)\left(6-3 x^{2}\right)\,d x.
  • É necessário apresentar uma primitiva (antiderivada) e então verificar que sua derivada é o integrando.

Passo 2

Escolha do método e regras básicas usadas (explicação didática).
  • Aqui o integrando é um produto de polinômios. A maneira mais simples é primeiro expandir o produto para obter uma soma de potências de x, porque integrar somas termo a termo é direto.
  • Propriedade linear da integral: para quaisquer funções f e g e constantes a,b,
\int\big(a f(x)+b g(x)\big)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
Isto permite integrar cada termo separadamente.
  • Regra do poder (power rule) para integrar polinômios: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Aqui n é o expoente de x.

Passo 3

Expandir o produto (4+4 x)(6-3 x^{2}) passo a passo (distributiva).
  • Multiplicar termo a termo:
4\cdot 6 = 24,
4\cdot(-3x^{2}) = -12x^{2},
4x\cdot 6 = 24x,
4x\cdot(-3x^{2}) = -12x^{3}.
  • Somando os termos obtém-se o polinômio integrando:
(4+4 x)(6-3 x^{2}) = 24 + 24x -12x^{2} -12x^{3}.

Passo 4

Aplicar a linearidade e integrar termo a termo usando a regra do poder.
Vamos integrar cada termo separadamente:
  • Para o termo constante 24:
\int 24\,dx = 24x + C_1,
pois \int a\,dx = a x para constante a.
  • Para o termo 24x:
\int 24x\,dx = 24\int x\,dx = 24\cdot\frac{x^{2}}{2} = 12x^{2} + C_2.
Aqui usei \int x\,dx = x^{2}/2.
  • Para o termo -12x^{2}:
\int -12x^{2}\,dx = -12\int x^{2}\,dx = -12\cdot\frac{x^{3}}{3} = -4x^{3} + C_3.
  • Para o termo -12x^{3}:
\int -12x^{3}\,dx = -12\int x^{3}\,dx = -12\cdot\frac{x^{4}}{4} = -3x^{4} + C_4.
  • Somando todas as primitivas (absorvendo C_1+C_2+C_3+C_4 numa única constante C) obtemos:
\int(4+4 x)(6-3 x^{2})\,dx = 24x + 12x^{2} -4x^{3} -3x^{4} + C.

Passo 5

Verificação por diferenciação (testando que a derivada da primitiva é o integrando).
  • Seja F(x) = 24x + 12x^{2} -4x^{3} -3x^{4} + C. Usamos a regra do poder para derivar: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1} e derivada de constante é zero.
  • Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\big(24x\big) = 24,
\frac{d}{dx}\big(12x^{2}\big) = 12\cdot 2x = 24x,
\frac{d}{dx}\big(-4x^{3}\big) = -4\cdot 3x^{2} = -12x^{2},
\frac{d}{dx}\big(-3x^{4}\big) = -3\cdot 4x^{3} = -12x^{3},
\frac{d}{dx}C = 0.
  • Somando as derivadas:
F'(x) = 24 + 24x -12x^{2} -12x^{3}.
  • Observa-se que este F'(x) coincide exatamente com o integrando expandido, isto é,
F'(x) = 24 + 24x -12x^{2} -12x^{3} = (4+4 x)(6-3 x^{2}).
Portanto a primitiva encontrada está correta.

Resposta

-3x^{4}-4x^{3}+12x^{2}+24x+C

Exercícios relacionados