Verifique que as igualdades abaixo valem para todo valor de x \neq 2 n \pi \pm \frac{\pi}{2}, onde n é um número inteiro qualquer. Tais igualdades são chamadas identidades trigonométricas.
\frac{\cos x}{1+\operatorname{sen} x}=\frac{1-\operatorname{sen} x}{\cos x}

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
\frac{\cos x}{1+\operatorname{sen}x} \;=\;\frac{1-\operatorname{sen}x}{\cos x}
para todo x\neq 2n\pi\pm\frac{\pi}{2}.
Aqui vamos usar a identidade pitagórica
\operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1
e observar as condições de existência (denominadores não nulos).

Passo 2

Condição de existência das frações:
  1. 1+\operatorname{sen}x\neq0 \implies \operatorname{sen}x\neq-1, o que ocorre em x=2n\pi-\tfrac{\pi}{2}.
  2. \cos x\neq0 \implies x\neq 2n\pi\pm\tfrac{\pi}{2}.
    Como excluímos x=2n\pi\pm\tfrac{\pi}{2}, garantimos que nenhum denominador é zero.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da identidade pelo produto (1+\operatorname{sen}x)\cos x, que é não nulo no domínio, obtendo
\cos^2x \;=\;(1-\operatorname{sen}x)\,(1+\operatorname{sen}x).

Passo 4

Expandimos o produto e aplicamos a identidade pitagórica:
(1-\operatorname{sen}x)(1+\operatorname{sen}x) =1-\operatorname{sen}^2x =\cos^2x.
Logo chegamos a \cos^2x=\cos^2x, confirmando a igualdade original.

Resposta

A identidade
\frac{\cos x}{1+\operatorname{sen}x}=\frac{1-\operatorname{sen}x}{\cos x}
é válida para todo x\neq 2n\pi\pm\frac{\pi}{2}.

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