Verifique as implicações seguintes, sendo a>0.
|x-1|;

Passo 1

O enunciado pede para provar que se lvert x-1rvert < a < 1 com a>0 então lvert x^2-1rvert < 3a. O conteúdo envolvido é manipulação de módulos e desigualdades. Vamos usar a fatoração de x^2-1, a propriedade lvert uvrvert=lvert urvertlvert vrvert e a desigualdade triangular lvert u+vrvert<=lvert urvert+lvert vrvert.

Passo 2

Primeiro, fatoramos x^2-1:
lvert x^2-1rvert = lvert(x-1)(x+1)rvert = lvert x-1rvert,lvert x+1rvert

Passo 3

Agora, estimamos lvert x+1rvert. Usando a desigualdade triangular:
lvert x+1rvert = lvert(x-1)+2rvert <= lvert x-1rvert + 2 < a + 2
Como a<1, segue que a+2<3. Logo,
lvert x+1rvert < 3

Passo 4

Por fim, combinamos as estimativas:
lvert x^2-1rvert = lvert x-1rvert,lvert x+1rvert < a cdot 3 = 3a
Isso conclui a prova da implicação.

Resposta

lvert x^2-1rvert < 3a

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