Em cada caso, encontre pontos críticos (x0, y0) nos quais fx(x0, y0) = 0 e Fy(x0, y0) = 0; para através do Teste das derivadas parciais de 2^a ordem, se possível, determinar se são: Máximos locais; mínimos locais; ou pontos de sela:
f(x, y)=e^x^2+y^2-4 x;

Passo 1

Estamos tratando da função f(x,y)=e^x^2+y^2-4x. Para achar pontos críticos, precisamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem e zerá-las. Depois, usamos o teste das derivadas parciais de segunda ordem para classificar o ponto.

Passo 2

Aplico a regra da cadeia definindo g(x,y)=x^2+y^2-4x, então
fx = f(x,y)cdot partial gpartial x = e^g(x,y),(2x-4),
fy = e^g(x,y)cdot 2y
Igualando a zero vem 2x-4=0 e 2y=0, logo o único ponto crítico é (2,0).

Passo 3

Agora calculo as segundas derivadas gerais: usando produto e regra da cadeia,
fxx = e^g(x,y)l(2+(2x-4)^2r),
fyy = e^g(x,y)l(2+(2y)^2r),
fxy = e^g(x,y)cdot 4y(x-2)

Passo 4

No ponto (2,0) temos
fxx(2,0)=2e^-4, fyy(2,0)=2e^-4, fxy(2,0)=0
O discriminante é
D = fxxfyy-fxy^2 = (2e^-4)^2 > 0,
e como fxx(2,0)>0, conclui-se que (2,0) é um mínimo local.

Resposta

O único ponto crítico é (2,0), que é um mínimo local.

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