Nos exercícios 5. e 6. para a região R dada decomponha \iint_{R} f(x, y) nas duas possíveis ordens de integração.
R é a região que não contêm a origem e é limitada pelas curvas y^{2}-x^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede para escrever
\displaystyle \iint_{R}f(x,y)\,dA
nas duas ordens de integração possíveis, onde R é a região “fora” da hipérbole
y^{2}-x^{2}=1
e “dentro” do círculo
x^{2}+y^{2}=9,
sem incluir a origem. Como essas duas curvas se cruzam em \,y^{2}=5 (isto é, y=\pm\sqrt{5}) e a hipérbole tem duas “folhas” (uma para y\ge1 e outra para y\le -1), a região R se separa em duas partes simétricas (acima e abaixo do eixo x).

Passo 2

Para a ordem \,dy\,dx, tomamos x como variável exterior.
  1. O intervalo de x em que há interseção das duas curvas é
x^{2}\le4\quad\Longrightarrow\quad -2\le x\le2.
  1. Para cada x fixo em [-2,2], o ponto (x,y) pertence a R se
\sqrt{1+x^{2}}\;\le\;y\;\le\;\sqrt{9-x^{2}} \quad\text{ou}\quad -\sqrt{9-x^{2}}\;\le\;y\;\le\;-\sqrt{1+x^{2}}.

Passo 3

Logo, escrevemos
\iint_{R}f(x,y)\,dA =\int_{x=-2}^{2}\Biggl[ \int_{y=\sqrt{1+x^{2}}}^{\sqrt{9-x^{2}}}f(x,y)\,dy + \int_{y=-\sqrt{9-x^{2}}}^{-\sqrt{1+x^{2}}}f(x,y)\,dy \Biggr]dx.

Passo 4

Para a ordem \,dx\,dy, tomamos y como variável exterior.
  1. O y deve satisfazer simultaneamente
|y|\ge1 \quad\text{(para ficar fora da hipérbole)} \quad\text{e}\quad |y|\le3 \quad\text{(para ficar dentro do círculo)}.éí
Isto dá os intervalos 1\le y\le3 e -3\le y\le -1.
2. Para cada y fixo nesses intervalos, x deve satisfazer
\sqrt{y^{2}-1}\;\le\;|x|\;\le\;\sqrt{9-y^{2}} \quad\Longrightarrow\quad x\in[-\sqrt{9-y^{2}},-\sqrt{y^{2}-1}]\;\cup\;[\sqrt{y^{2}-1},\sqrt{9-y^{2}}].

Passo 5

Assim,
\iint_{R}f(x,y)\,dA =\int_{y=1}^{3}\Biggl[ \int_{x=-\sqrt{9-y^{2}}}^{-\sqrt{y^{2}-1}}f(x,y)\,dx + \int_{x=\sqrt{y^{2}-1}}^{\sqrt{9-y^{2}}}f(x,y)\,dx \Biggr]dy
\quad{} +\int_{y=-3}^{-1}\Biggl[ \int_{x=-\sqrt{9-y^{2}}}^{-\sqrt{y^{2}-1}}f(x,y)\,dx + \int_{x=\sqrt{y^{2}-1}}^{\sqrt{9-y^{2}}}f(x,y)\,dx \Biggr]dy.

Resposta

Em ordem dy\,dx:
\displaystyle \iint_{R}f(x,y)\,dA =\int_{x=-2}^{2}\Biggl[ \int_{y=\sqrt{1+x^{2}}}^{\sqrt{9-x^{2}}}f(x,y)\,dy + \int_{y=-\sqrt{9-x^{2}}}^{-\sqrt{1+x^{2}}}f(x,y)\,dy \Biggr]dx.
Em ordem dx\,dy:
\displaystyle \iint_{R}f(x,y)\,dA =\int_{y=1}^{3}\Biggl[ \int_{x=-\sqrt{9-y^{2}}}^{-\sqrt{y^{2}-1}}f(x,y)\,dx + \int_{x=\sqrt{y^{2}-1}}^{\sqrt{9-y^{2}}}f(x,y)\,dx \Biggr]dy \;+\;\int_{y=-3}^{-1}\Biggl[ \int_{x=-\sqrt{9-y^{2}}}^{-\sqrt{y^{2}-1}}f(x,y)\,dx + \int_{x=\sqrt{y^{2}-1}}^{\sqrt{9-y^{2}}}f(x,y)\,dx \Biggr]dy.

Exercícios relacionados