Calcule as integrais abaixo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida abaixo, com seus limites e integrando dados:
Informações fornecidas que usaremos: o integrando é
e os limites de integração são
e
. O objetivo é encontrar o valor numérico (em termos de
) dessa integral definida.
Passo 2
Vamos usar uma propriedade básica dos expoentes para simplificar o integrando antes de integrar. A propriedade é:
Aplicando com
e
, obtemos:
Um exemplo numérico rápido para fixar:
. Aqui
é uma constante em relação a
.
Passo 3
Usamos agora a linearidade da integral: uma constante pode ser tirada para fora da integral. A regra é
onde
é constante. Aplicando ao nosso caso com
e
, fica:
Passo 4
Agora precisamos da primitiva (antiderivada) de
. Uma propriedade muito útil é que a derivada de
é ela própria:
Isso implica que uma primitiva de
é
também. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
então
No nosso caso,
serve como primitiva de
.
Passo 5
Aplicando o resultado anterior:
Agora simplificamos usando a propriedade dos expoentes
e
. Assim
Passo 6
Como verificação alternativa (opcional), podemos fazer a substituição
. Então
. Quando
temos
; quando
temos
. A integral fica
o que confirma o resultado anterior.