Calcule as integrais abaixo
\int_{1}^{5} e^{x+3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida abaixo, com seus limites e integrando dados:
\int_{1}^{5} e^{x+3}\,dx
Informações fornecidas que usaremos: o integrando é e^{x+3} e os limites de integração são x=1 e x=5. O objetivo é encontrar o valor numérico (em termos de e) dessa integral definida.

Passo 2

Vamos usar uma propriedade básica dos expoentes para simplificar o integrando antes de integrar. A propriedade é:
e^{a+b}=e^{a}\,e^{b}
Aplicando com a=x e b=3, obtemos:
e^{x+3}=e^{x}\,e^{3}.
Um exemplo numérico rápido para fixar: e^{2+1}=e^{2}e^{1}. Aqui e^{3} é uma constante em relação a x.

Passo 3

Usamos agora a linearidade da integral: uma constante pode ser tirada para fora da integral. A regra é
\int_{a}^{b} c\,f(x)\,dx = c\int_{a}^{b} f(x)\,dx,
onde c é constante. Aplicando ao nosso caso com c=e^{3} e f(x)=e^{x}, fica:
\int_{1}^{5} e^{x+3}\,dx = \int_{1}^{5} e^{3}e^{x}\,dx = e^{3}\int_{1}^{5} e^{x}\,dx.

Passo 4

Agora precisamos da primitiva (antiderivada) de e^{x}. Uma propriedade muito útil é que a derivada de e^{x} é ela própria:
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Isso implica que uma primitiva de e^{x} é e^{x} também. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se F'(x)=f(x) então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
No nosso caso, F(x)=e^{x} serve como primitiva de f(x)=e^{x}.

Passo 5

Aplicando o resultado anterior:
e^{3}\int_{1}^{5} e^{x}\,dx = e^{3}\bigl[e^{x}\bigr]_{1}^{5} = e^{3}\bigl(e^{5}-e^{1}\bigr).
Agora simplificamos usando a propriedade dos expoentes e^{3}e^{5}=e^{8} e e^{3}e^{1}=e^{4}. Assim
e^{3}\bigl(e^{5}-e^{1}\bigr)=e^{8}-e^{4}.

Passo 6

Como verificação alternativa (opcional), podemos fazer a substituição u=x+3. Então du=dx. Quando x=1 temos u=4; quando x=5 temos u=8. A integral fica
\int_{1}^{5} e^{x+3}\,dx = \int_{4}^{8} e^{u}\,du = \bigl[e^{u}\bigr]_{4}^{8}=e^{8}-e^{4},
o que confirma o resultado anterior.

Resposta

\,e^{8}-e^{4}

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