Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
é convergente e, se for, calcular seu valor. Informações dadas:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração é
, ou seja, o comportamento no infinito é relevante (integral imprópria por limite infinito). - A expressão do denominador permite localizar possíveis singularidades: as raízes de
são e (obtidas resolvendo ). Essas singularidades estão fora do intervalo .
Passo 2
Antes de integrar, é bom entender a natureza da impropriedade. Uma integral com limite superior infinito é definida como
ou seja, calcula-se a integral até uma
finita e depois toma-se o limite
. Como as singularidades
e
estão à esquerda de
, a função
é contínua em
e não há impropriedade por singularidade interior; a única impropriedade é o limite na extremidade superior. Se o limite for finito, a integral converge.
Um modo prático para integrar
é usar decomposição em frações parciais, porque o denominador é um polinômio de segundo grau com raízes reais distintas.
Passo 3
Fatorar o denominador:
Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando por
obtemos
Escolhendo
dá
então
. Escolhendo
dá
então
. Portanto
Passo 4
Integrar a expressão parcial entre
e
:
As integrais elementares são logaritmos:
Logo uma primitiva conveniente é
e
Passo 5
Agora tomamos o limite
:
pois
. Portanto
Comentário didático curto sobre convergência: para grandes
,
comporta-se como
, e sabemos que
converge (é um caso
-integral com
). Isso já dava uma indicação de que a integral deve convergir; o cálculo com frações parciais fornece o valor exato.
Passo 6
Conclusão: a integral imprópria converge e seu valor é
.