Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
\int_{2}^{\infty} \frac{d v}{v^{2}+2 v-3}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{dv}{v^{2}+2v-3}
é convergente e, se for, calcular seu valor. Informações dadas:
  • A função integranda é \displaystyle f(v)=\frac{1}{v^{2}+2v-3}.
  • O intervalo de integração é [2,\infty), ou seja, o comportamento no infinito é relevante (integral imprópria por limite infinito).
  • A expressão do denominador permite localizar possíveis singularidades: as raízes de v^{2}+2v-3 são v=1 e v=-3 (obtidas resolvendo v^{2}+2v-3=0). Essas singularidades estão fora do intervalo [2,\infty).

Passo 2

Antes de integrar, é bom entender a natureza da impropriedade. Uma integral com limite superior infinito é definida como
\int_{2}^{\infty} f(v)\,dv := \lim_{R\to\infty}\int_{2}^{R} f(v)\,dv,
ou seja, calcula-se a integral até uma R finita e depois toma-se o limite R\to\infty. Como as singularidades v=1 e v=-3 estão à esquerda de v=2, a função f é contínua em [2,\infty) e não há impropriedade por singularidade interior; a única impropriedade é o limite na extremidade superior. Se o limite for finito, a integral converge.
Um modo prático para integrar \dfrac{1}{v^{2}+2v-3} é usar decomposição em frações parciais, porque o denominador é um polinômio de segundo grau com raízes reais distintas.

Passo 3

Fatorar o denominador:
v^{2}+2v-3=(v-1)(v+3).
Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{(v-1)(v+3)}=\frac{A}{v-1}+\frac{B}{v+3}.
Multiplicando por (v-1)(v+3) obtemos
1 = A(v+3)+B(v-1).
Escolhendo v=1 1=4A então A=\dfrac{1}{4}. Escolhendo v=-3 1=-4B então B=-\dfrac{1}{4}. Portanto
\frac{1}{v^{2}+2v-3}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{v-1}-\frac{1}{v+3}\right).

Passo 4

Integrar a expressão parcial entre 2 e R:
\int_{2}^{R}\frac{dv}{v^{2}+2v-3} =\frac{1}{4}\int_{2}^{R}\left(\frac{1}{v-1}-\frac{1}{v+3}\right)dv.
As integrais elementares são logaritmos:
\int\frac{1}{v-1}dv=\ln|v-1|,\qquad \int\frac{1}{v+3}dv=\ln|v+3|.
Logo uma primitiva conveniente é
F(v)=\frac{1}{4}\ln\!\left(\frac{v-1}{v+3}\right),
e
\int_{2}^{R}\frac{dv}{v^{2}+2v-3}=F(R)-F(2) =\frac{1}{4}\ln\!\left(\frac{R-1}{R+3}\right)-\frac{1}{4}\ln\!\left(\frac{1}{5}\right).

Passo 5

Agora tomamos o limite R\to\infty:
\lim_{R\to\infty}\ln\!\left(\frac{R-1}{R+3}\right) =\ln\!\left(\lim_{R\to\infty}\frac{R-1}{R+3}\right) =\ln(1)=0,
pois \dfrac{R-1}{R+3}\to1. Portanto
\int_{2}^{\infty}\frac{dv}{v^{2}+2v-3} =0-\frac{1}{4}\ln\!\left(\frac{1}{5}\right) =-\frac{1}{4}\ln\!\left(\frac{1}{5}\right) =\frac{1}{4}\ln 5.
Comentário didático curto sobre convergência: para grandes v, \dfrac{1}{v^{2}+2v-3} comporta-se como \dfrac{1}{v^{2}}, e sabemos que \int_{2}^{\infty}v^{-2}\,dv converge (é um caso p-integral com p=2>1). Isso já dava uma indicação de que a integral deve convergir; o cálculo com frações parciais fornece o valor exato.

Passo 6

Conclusão: a integral imprópria converge e seu valor é \dfrac{1}{4}\ln 5.

Resposta

\dfrac{1}{4}\ln 5

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