Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
\int_{1}^{\infty} 2 x^{-3} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência e, se convergente, calcular o valor da integral imprópria
\int_{1}^{\infty} 2 x^{-3}\,dx.
Informações dadas:
  • Integrando: \,2x^{-3}\,.
  • Intervalo de integração: de \,1 até \,\infty.
  • A integral é imprópria porque o limite superior é infinito.
    O que se quer: decidir se a integral converge e, em caso afirmativo, encontrar seu valor numérico.

Passo 2

Definição prática de integral impropria com limite infinito: calcular primeiro a integral em um intervalo finito e depois tomar o limite. Escrevemos
\int_{1}^{\infty} 2 x^{-3}\,dx = \lim_{b\to\infty} \int_{1}^{b} 2 x^{-3}\,dx.
Se esse limite for finito, dizemos que a integral converge; se o limite divergir (para \pm\infty ou não existir), a integral diverge.

Passo 3

Vamos integrar o integrando usando a regra da potência. Lembrete da regra da potência para primitiva:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad\text{para }n\neq -1,
onde C é a constante de integração. Aqui n=-3. Então
\int 2x^{-3}\,dx = 2\int x^{-3}\,dx = 2\cdot\frac{x^{-2}}{-2}+C.
Simplificando o fator 2 com -2 obtemos a primitiva
\int 2x^{-3}\,dx = -x^{-2}+C = -\frac{1}{x^{2}}+C.

Passo 4

Avaliaremos a integral definida de 1 a b usando a primitiva encontrada:
\int_{1}^{b} 2x^{-3}\,dx = \left[-\frac{1}{x^{2}}\right]_{1}^{b} = -\frac{1}{b^{2}} -\left(-\frac{1}{1^{2}}\right).
Fazendo as contas:
-\frac{1}{b^{2}} -\left(-1\right) = 1 - \frac{1}{b^{2}}.

Passo 5

Tomamos o limite quando b\to\infty:
\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac{1}{b^{2}}\right) = 1 - 0 = 1.
Como o limite é finito, a integral imprópria converge e seu valor é 1.
Para reforçar a intuição: pela regra geral (teste-p), a integral \int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx converge se, e somente se, p>1. Aqui p=3>1, logo era de se esperar convergência.

Resposta

Converge e vale 1.

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