Verifique quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência e, se convergente, calcular o valor da integral imprópria
Informações dadas:
- Integrando:
. - Intervalo de integração: de
até . - A integral é imprópria porque o limite superior é infinito.
O que se quer: decidir se a integral converge e, em caso afirmativo, encontrar seu valor numérico.
Passo 2
Definição prática de integral impropria com limite infinito: calcular primeiro a integral em um intervalo finito e depois tomar o limite. Escrevemos
Se esse limite for finito, dizemos que a integral converge; se o limite divergir (para
ou não existir), a integral diverge.
Passo 3
Vamos integrar o integrando usando a regra da potência. Lembrete da regra da potência para primitiva:
onde
é a constante de integração. Aqui
. Então
Simplificando o fator
com
obtemos a primitiva
Passo 4
Avaliaremos a integral definida de
a
usando a primitiva encontrada:
Fazendo as contas:
Passo 5
Tomamos o limite quando
:
Como o limite é finito, a integral imprópria converge e seu valor é
.
Para reforçar a intuição: pela regra geral (teste-p), a integral
converge se, e somente se,
. Aqui
, logo era de se esperar convergência.
Resposta
Converge e vale
.